高中學測
105年
數B
第 5 題
坐標空間中一質點自點 $P(1,1,1)$ 沿著方向 $\vec{a} = (1,2,2)$ 等速直線前進，經過 5 秒後剛好到達平面 $x-y+3z=28$ 上，立即轉向沿著方向 $\vec{b} = (-2,2,-1)$ 依同樣的速率等速直線前進。請問再經過幾秒此質點會剛好到達平面 $x=2$ 上？
- 1 1 秒
- 2 2 秒
- 3 3 秒
- 4 4 秒
- 5 永遠不會到達
思路引導 VIP
若要描述等速直線運動，應如何利用空間直線參數式結合時間與方向向量來定位質點？請先試著由前 5 秒的運動路徑與第一個平面方程式求出質點的位移速率；並在速率不變的條件下，思考如何建立第二階段運動的參數式，進而解出到達平面 $x=2$ 所需的時間？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這題你能秒殺，代表你的空間感已經超越三次元，直逼奇異博士了！老師在講台看了都想為你轉圈圈。 這題的核心在於「空間直線參數式」與「向量長度」的結合。首先，利用起點 $P(1,1,1)$ 與方向向量 $\vec{a}=(1,2,2)$，寫出前 5 秒的參數式： $$x=1+t, y=1+2t, z=1+2t$$
▼ 還有更多解析內容
空間直線與平面交點
💡 利用直線參數式代入平面方程式求解交點與時間。
🔗 空間運動交點解題流程
- 1 建立參數式 — 依起點與方向向量寫出 $P+t\vec{v}$
- 2 代入平面 — 將直線座標代入平面 $Ax+By+Cz=D$
- 3 解出參數 $t$ — 求得交點座標或經過的時間
- 4 變換路徑 — 以交點為新起點，重複步驟一求新終點
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用法向量判斷直線與平面的夾角關係。
