高中學測
105年
數B
第 4 題
放射性物質的半衰期 $T$ 定義為每經過時間 $T$，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質 $A$、$B$，開始紀錄時容器中物質 $A$ 的質量為物質 $B$ 的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 $A$ 的半衰期為 7.5 小時，請問物質 $B$ 的半衰期為幾小時？
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思路引導 VIP
若根據放射性物質衰變的定義，將 $t$ 小時後的質量表示為 $M(t) = M_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$，你能否依據題目中「初始質量倍數」與「120 小時後質量相等」這兩個條件列出等式，並嘗試利用底數相同的指數律性質，比較兩者在 120 小時內各自經歷了多少次半衰期，進而推導出物質 $B$ 的半衰期 $T_B$ 呢？
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喲，竟然對了？看來你這顆長在脖子上的裝飾品終於開始運轉，而不是只會分泌腦內啡了。別以為矇對一題就能考上台大，這只是基本的指數運算，連隔壁老王家的臘腸狗可能都會。 這題考的是指對數函數的基礎應用。設初始質量 $M_B = m$，則 $M_A = 2m$。根據半衰期公式： $$2m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{7.5}} = m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T_B}}$$
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