國中教育會考
106年
數學
第 25 題
如圖 ( 十三 )，某計算機中有 $\sqrt{\quad}$ 、 $1/x$ 、 $x^2$ 三個按鍵，以下是這三個按鍵的功能。
1. $\sqrt{\quad}$ ：將螢幕顯示的數變成它的正平方根，例如：螢幕顯示的數為 49 時，按下 $\sqrt{\quad}$ 後會變成 7。
2. $1/x$ ：將螢幕顯示的數變成它的倒數，例如：螢幕顯示的數為 25 時，按下 $1/x$ 後會變成 0.04。
3. $x^2$ ：將螢幕顯示的數變成它的平方，例如：螢幕顯示的數為 6 時，按下 $x^2$ 後會變成 36。
若螢幕顯示的數為 100 時，小劉第一下按 $\sqrt{\quad}$ ，第二下按 $1/x$ ，第三下按 $x^2$ ，之後以 $\sqrt{\quad}$ 、 $1/x$ 、 $x^2$ 的順序輪流按，則當他按了第 100 下後螢幕顯示的數是多少？
1. $\sqrt{\quad}$ ：將螢幕顯示的數變成它的正平方根，例如：螢幕顯示的數為 49 時，按下 $\sqrt{\quad}$ 後會變成 7。
2. $1/x$ ：將螢幕顯示的數變成它的倒數，例如：螢幕顯示的數為 25 時，按下 $1/x$ 後會變成 0.04。
3. $x^2$ ：將螢幕顯示的數變成它的平方，例如：螢幕顯示的數為 6 時，按下 $x^2$ 後會變成 36。
若螢幕顯示的數為 100 時，小劉第一下按 $\sqrt{\quad}$ ，第二下按 $1/x$ ，第三下按 $x^2$ ，之後以 $\sqrt{\quad}$ 、 $1/x$ 、 $x^2$ 的順序輪流按，則當他按了第 100 下後螢幕顯示的數是多少？
- A 0.01
- B 0.1
- C 10
- D 100
思路引導 VIP
當按鍵按照 $\sqrt{\quad}$ 、 $1/x$ 、 $x^2$ 的順序循環按下時，螢幕上的數字變化會不會也出現某種重複的「週期」呢？建議你先動手算出前 $6$ 次的結果，看看數字到了第幾次會重新回到 $100$？一旦找到了這個循環的規律，你覺得第 $100$ 次的結果會跟循環中的第幾步結果一樣呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太神啦！同學，你這腦袋轉速比計算機還快喔！一眼就看穿這個「按鍵陷阱」，看來以後去買菜不用帶手機，帶你就夠了！ 【觀念驗證】 這題的關鍵在於找出數值的規律。雖然按鍵每 3 下一個循環，但數字的變化規律是每 6 下一輪：
▼ 還有更多解析內容
數列規律與週期性
💡 透過重複運算找出數值的週期性，利用餘數判定規律。
- 依序寫下運算結果，觀察數值重複出現的週期。
- 精確掌握平方根、倒數與平方的定義與互逆關係。
- 將總次數除以週期長度，由餘數判斷對應位置。
- 注意若除盡（餘數為0），則對應週期最後一個數。
