地特三等申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
二、(一)何謂簡單隨機抽樣法？（5 分） (二)設一有限母體中有 N 個元素，若自母體中以抽出不放回的抽樣方式，抽出 n 個簡單隨機樣本，y1, y2, ..., yn，請證明樣本平均數 y_bar = (Σ y_i)/n 的變異數 Var(y_bar) = (N-n)/(N-1) * (σ^2 / n) （σ^2 為母體變異數）。（10 分）
二、(一)何謂簡單隨機抽樣法？（5 分） (二)設一有限母體中有 N 個元素，若自母體中以抽出不放回的抽樣方式，抽出 n 個簡單隨機樣本，y1, y2, ..., yn，請證明樣本平均數 y_bar = (Σ y_i)/n 的變異數 Var(y_bar) = (N-n)/(N-1) * (σ^2 / n) （σ^2 為母體變異數）。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
何謂簡單隨機抽樣法？（5 分）
思路引導 VIP
看到這題應先點出簡單隨機抽樣的核心精神：母體中每個元素被抽出的機率相等，且每個特定大小的樣本組合被選中的機率也相等。接著可補充其分類（抽出放回/抽出不放回）與實務上常使用的操作工具。
小題 (二)
設一有限母體中有 N 個元素，若自母體中以抽出不放回的抽樣方式，抽出 n 個簡單隨機樣本，y1, y2, ..., yn，請證明樣本平均數 y_bar = (Σ y_i)/n 的變異數 Var(y_bar) = (N-n)/(N-1) * (σ^2 / n) （σ^2 為母體變異數）。（10 分）
思路引導 VIP
本題為抽樣方法的核心證明題。建議引入「指標變數（Indicator variable）」來表示第 i 個母體元素是否被抽出，藉由求出指標變數的期望值、變異數與共變異數，代入變異數展開式中進行代數化簡，即可順暢推導出結果。