地特三等申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
二、(一)何謂簡單隨機樣本？（5 分） (二)考慮簡單隨機抽樣，請證明任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率為 n/N。（5 分） (三)請問下列敘述是否正確？「若任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率皆相等，則此樣本稱為簡單隨機樣本」，若不正確，請舉一反例說明。（10 分）
二、(一)何謂簡單隨機樣本？（5 分） (二)考慮簡單隨機抽樣，請證明任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率為 n/N。（5 分） (三)請問下列敘述是否正確？「若任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率皆相等，則此樣本稱為簡單隨機樣本」，若不正確，請舉一反例說明。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
何謂簡單隨機樣本？（5 分）
思路引導 VIP
看到「簡單隨機樣本」的定義，切忌只回答「每個母體元素被抽中的機率相等」（這只是必要條件，後續子題會考此反例）。必須精準點出統計學上的核心定義：所有可能出現的「樣本組合」被選中的機率皆完全相等。
小題 (二)
考慮簡單隨機抽樣，請證明任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率為 n/N。（5 分）
思路引導 VIP
這是一道經典的抽樣理論證明題。解題核心在於利用「古典機率定義」，先求出從母體抽出樣本的「總可能組合數」，再求出「包含特定元素的組合數」，兩者相除並化簡階乘即可得證。
小題 (三)
請問下列敘述是否正確？「若任一母體元素 u_i, i=1,…, N 被選入樣本的機率皆相等，則此樣本稱為簡單隨機樣本」，若不正確，請舉一反例說明。（10 分）
思路引導 VIP
首先釐清簡單隨機抽樣（SRS）的嚴格定義：不僅要求「單一元素」中選機率相等，更要求「所有可能的樣本組合」中選機率皆相等。接著判斷敘述為錯誤，並以「系統抽樣」或「分層隨機抽樣（比例配置）」作為經典反例進行數值說明即可輕鬆拿分。