地特三等申論題 108年 [統計] 抽樣方法

第一題

📖 題組：
將 5 個大小質量皆相同的球，分別編號為 1, 2, 3, 4, 5，且將其放入袋中。現以簡單隨機抽樣法一次抽取 2 個球。設 $X_i$ 為第 $i$ 個球之編號，$i=1, 2$，$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2}$。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

求 $\bar{X}$ 之抽樣分配。（10 分）

看到求「抽樣分配」的問題，首先確認母體大小與抽樣方法。本題「一次抽取 2 個球」等同於簡單隨機抽樣不放回 (SRSWOR)，故需先計算總樣本組合數（C5取2），窮舉所有可能樣本，算出每個樣本的平均數，最後彙整成機率分配表即可。

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【解題關鍵】簡單隨機抽樣「一次抽取 2 個球」視同抽出不放回（SRSWOR），需窮舉所有可能的樣本組合（$C^5_2 = 10$ 種），計算對應的樣本平均數 $\bar{X}$ 並整理成機率分配表。【解答】 Step 1：計算可能樣本總數

驗證 $\bar{X}$ 是否為母體平均數 $\mu$ 的不偏估計式。（5 分）

看到「驗證不偏估計式」，必須立刻想到其數學定義：估計量的期望值必須等於母體參數（即 $E(\bar{X}) = \mu$）。由於此題母體元素極少（$N=5$），最標準且直觀的作法是窮舉所有可能的樣本組合，求出所有對應的樣本平均數，再計算其期望值與母體平均數進行比對證明。

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【解題思路】利用不偏性的數學定義 $E(\bar{X}) = \mu$ 進行驗證，透過窮舉所有可能樣本及其機率分配來計算樣本平均數的期望值。【詳解】已知：

說明 $\bar{X}$ 的變異數與母體變異數 $\sigma^2$ 之間的關係。（10 分）

看到「一次抽取 2 個球」應立即聯想到「簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）」。解題時需先分別求出母體變異數與樣本平均數變異數的理論數值，再藉由引入「有限母體修正因子（fpc）」來連結並證明兩者的數學關係。

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【解題思路】利用簡單隨機抽樣不放回（SRSWOR）的理論，計算母體變異數與樣本平均數變異數，並透過有限母體修正因子推導兩者關係。【詳解】已知條件整理：

$z_{0.025} = 1.96$ $z_{0.05} = 1.645$