高考申論題
107年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
假設 F = {u1, u2, u3, u4} 是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而四個元素的研究變數（study variable）值分別為 y1=1、y2=3、y3=3 以及 y4=9。我們採用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體 F 之中抽出樣本大小（sample size）為 n=2 的樣本組合，並以 Y1, Y2 來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母 Y，表示樣本數據皆為隨機變數）。
假設 F = {u1, u2, u3, u4} 是一個僅僅包含四個元素的小規模有限母體（finite population），而四個元素的研究變數（study variable）值分別為 y1=1、y2=3、y3=3 以及 y4=9。我們採用不置回的簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement）從母體 F 之中抽出樣本大小（sample size）為 n=2 的樣本組合，並以 Y1, Y2 來表示此樣本組合中的兩個樣本數據（註：採用大寫英文字母 Y，表示樣本數據皆為隨機變數）。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試求 Y1 與 Y2 的聯合機率分佈（joint probability distribution）以及 Y1 與 Y2 的共變異數（covariance）。（15 分）
思路引導 VIP
本題旨在考查對「不置回簡單隨機抽樣（SRSWOR）」基本統計性質的理解。首先，必須辨識出在 SRSWOR 之下，每一個樣本元素被抽中的機率是均等的。聯合機率分布應列出所有可能的樣本配對 $(Y_1, Y_2)$ 及其對應機率。關於共變異數，應先計算母體平均數 $mu$ 與母體變異數 $sigma^2$，再利用 SRSWOR 下樣本觀測值間的共變異數公式 $Cov(Y_i, Y_j) = -sigma^2 / (N-1)$ 進行求解。
小題 (二)
假設前一小題之中抽出樣本大小為 n=3 的樣本組合，並以 Y1, Y2, Y3 來表示此樣本組合中的三個樣本數據。試求 Y1 與 Y3 的共變異數。（5 分）
思路引導 VIP
此題進一步測試對 SRSWOR 對稱性的理解。在不置回抽樣中，任兩位位置的樣本觀測值 $(Y_i, Y_j)$ 之間的二階動差或共變異數與樣本總大小 $n$ 無關，僅與母體參數 $N$ 及 $sigma^2$ 有關。因此，不需要重新計算，直接套用前小題的邏輯即可。
小題 (三)
承上小題，提供母體平均數的 95%信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗分層隨機抽樣下母體平均數之區間估計。考生需先計算出分層平均數估計量及其變異數估計值，最後再代入題目給定的 t 分配臨界值，即可求出 95% 信賴區間。