高考申論題
108年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
臺灣地區有 525 家 IC 設計公司，其中有 5 家公司規模特大。為了估計臺灣地區 IC 設計產業的總員工人數 Y，除了將 5 家特大 IC 設計公司調查其員工人數得 y1, y2, ..., y5 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從剩餘的 520 家 IC 設計公司中抽出 20 家公司為樣本，調查其員工人數得 y6, ..., y25。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區 IC 設計公司之總員工人數 Y： \hat{Y}_1 = \frac{525}{25} \sum_{i=1}^{25} y_i, \quad \hat{Y}_2 = \sum_{i=1}^5 y_i + \frac{520}{20} \sum_{i=6}^{25} y_i
臺灣地區有 525 家 IC 設計公司，其中有 5 家公司規模特大。為了估計臺灣地區 IC 設計產業的總員工人數 Y，除了將 5 家特大 IC 設計公司調查其員工人數得 y1, y2, ..., y5 以外，另以簡單隨機抽樣法（不歸還）從剩餘的 520 家 IC 設計公司中抽出 20 家公司為樣本，調查其員工人數得 y6, ..., y25。現欲採用下列兩種估計式以估計臺灣地區 IC 設計公司之總員工人數 Y： \hat{Y}_1 = \frac{525}{25} \sum_{i=1}^{25} y_i, \quad \hat{Y}_2 = \sum_{i=1}^5 y_i + \frac{520}{20} \sum_{i=6}^{25} y_i
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試證 $\hat{Y}_1$及 $\hat{Y}_2$是否皆為 Y 之不偏估計式。（6 分）
思路引導 VIP
本題重點在於檢驗「不偏性」（Unbiasedness）。考生應分別對兩個估計式取期望值 E[.]，並觀察結果是否等於母體總和 Y。注意 $\hat{Y}_1$是將 25 家樣本視為從 525 家中抽出的 SRS；而 $\hat{Y}_2$則是將母體分為「特大」與「一般」兩層，特大者採普查，一般者採 SRS。
小題 (二)
請分別寫出 $\hat{Y}_1$及 $\hat{Y}_2$之均方誤差（Mean Square Error；MSE）的定義。（4 分）
思路引導 VIP
均方誤差（MSE）定義為估計值與真值之差的平方期望值。當估計式為不偏時，MSE 等於變異數（Variance）。
小題 (三)
又已知 5 家特大 IC 設計公司員工總人數為 5,062，而其他 520 家 IC 設計公司員工總人數為 60,320；其他 520 家 IC 設計公司之員工人數的平方和為 11,842,980。試利用上列資料求估計式 $\hat{Y}_1$及 $\hat{Y}_2$的均方誤差之值，並請說明估計 Y 時，那一個估計式較好？（4 分）
思路引導 VIP
本題需要代入數值計算變異數。特別注意 $\hat{Y}_2$ 的變異數僅來源於後 520 家公司的抽樣誤差（因為前 5 家是普查，誤差為 0）；而 $\hat{Y}_1$ 則需計算全體 525 家公司的變異數。比較兩者 MSE，數值小者較優。