高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
五、(一)考慮集群抽樣，若母體總數 M 已知，請問母體總和的估計量為何？若不知母體總數 M，但知道集群總數 N 時，請問母體總和的估計量為何？（5 分） (二)考慮兩階段集群抽樣，證明母體平均估計量 mu_hat = (1/M) * (1/n) * sum_{i=1}^n M_i * y_i_bar 是母體平均 mu 的不偏估計量。其中 M_bar = M/N。提示：E(mu_hat) = E_1[E_2|1(mu_hat)]。（10 分） (三)考慮兩階段集群抽樣，由相等大小集群 M 抽取相等大小樣本 m，且當 N 很大時，證明在固定抽樣成本下，使 V(mu_hat) = (1/n) * (sigma_b^2 + sigma_w^2 / m) 值最小的 m 為 m = sqrt( (sigma_w^2 * c_1) / (sigma_b^2 * c_2) )，其中 c_1 是第一階段每一觀察值的成本，c_2 是第二階段每一觀察值的成本，sigma_b^2 是集群平均間的變異數，sigma_w^2 是集群內元素間的變異數。（10 分）
五、(一)考慮集群抽樣，若母體總數 M 已知，請問母體總和的估計量為何？若不知母體總數 M，但知道集群總數 N 時，請問母體總和的估計量為何？（5 分） (二)考慮兩階段集群抽樣，證明母體平均估計量 mu_hat = (1/M) * (1/n) * sum_{i=1}^n M_i * y_i_bar 是母體平均 mu 的不偏估計量。其中 M_bar = M/N。提示：E(mu_hat) = E_1[E_2|1(mu_hat)]。（10 分） (三)考慮兩階段集群抽樣，由相等大小集群 M 抽取相等大小樣本 m，且當 N 很大時，證明在固定抽樣成本下，使 V(mu_hat) = (1/n) * (sigma_b^2 + sigma_w^2 / m) 值最小的 m 為 m = sqrt( (sigma_w^2 * c_1) / (sigma_b^2 * c_2) )，其中 c_1 是第一階段每一觀察值的成本，c_2 是第二階段每一觀察值的成本，sigma_b^2 是集群平均間的變異數，sigma_w^2 是集群內元素間的變異數。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
考慮集群抽樣，若母體總數 M 已知，請問母體總和的估計量為何？若不知母體總數 M，但知道集群總數 N 時，請問母體總和的估計量為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗不等大小集群抽樣中的母體總和估計。解題關鍵在於辨別可用的輔助資訊：若知母體總元素數 M，應聯想到精確度較高的「比率估計量」；若僅知母體總集群數 N，則只能使用基礎的「簡單不偏估計量」。
小題 (二)
考慮兩階段集群抽樣，證明母體平均估計量 mu_hat = (1/M) * (1/n) * sum_{i=1}^n M_i * y_i_bar 是母體平均 mu 的不偏估計量。其中 M_bar = M/N。提示：E(mu_hat) = E_1[E_2|1(mu_hat)]。（10 分）
思路引導 VIP
思考本題需運用「雙重期望值定理」（Double Expectation Theorem），將兩階段抽樣的期望值拆解為第一階段（抽取集群）與第二階段（集群內抽樣）的條件期望值。證明核心在於先證明第二階段的估計量不偏，再證明第一階段的總和估計量不偏。
小題 (三)
考慮兩階段集群抽樣，由相等大小集群 M 抽取相等大小樣本 m，且當 N 很大時，證明在固定抽樣成本下，使 V(mu_hat) = (1/n) * (sigma_b^2 + sigma_w^2 / m) 值最小的 m 為 m = sqrt( (sigma_w^2 * c_1) / (sigma_b^2 * c_2) )，其中 c_1 是第一階段每一觀察值的成本，c_2 是第二階段每一觀察值的成本。
思路引導 VIP
看到求固定成本下變異數極小的最佳配置，應直覺想到先建立線性總抽樣成本函數。接著可利用微積分（將目標函數轉為單變數後微分）或柯西不等式求極值，即可順利推導出最佳的第二階段樣本數 m。