高考申論題
109年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
某大型連鎖超商共有100家分店。管理當局想了解員工對目前採行輪休制度的支持度，從100家分店中以簡單隨機抽樣法抽出15家分店，且對抽出之15家分店的所有員工進行調查，得資料如下表： 分店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 員工人數 55 62 60 95 65 70 80 105 45 88 76 40 85 64 60 支持人數 25 30 50 65 42 50 48 50 30 55 60 25 63 46 54
某大型連鎖超商共有100家分店。管理當局想了解員工對目前採行輪休制度的支持度，從100家分店中以簡單隨機抽樣法抽出15家分店，且對抽出之15家分店的所有員工進行調查，得資料如下表： 分店 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 員工人數 55 62 60 95 65 70 80 105 45 88 76 40 85 64 60 支持人數 25 30 50 65 42 50 48 50 30 55 60 25 63 46 54
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計該連鎖超商員工支持目前輪休制度的總人數。（5分）
思路引導 VIP
- 辨識抽樣法：這是一階段叢集抽樣 (One-stage Cluster Sampling)，因為抽出了 15 個「分店」（叢集），並調查該分店內「所有」員工。
- 母體總數估計：利用樣本內支持人數的平均值 $\bar{a}$ 乘上總分店數 $N=100$。
小題 (二)
估計該連鎖超商員工支持目前輪休制度的比例，並求算此比例的95%信賴區間。依調查結果，該連鎖超商人資長宣稱，員工支持目前輪休制度的比例超過65%，請判斷人資長的宣稱是否正確。（15分）
思路引導 VIP
- 比例估計：在叢集抽樣中，比例 $\hat{p}$ 實際上是一個「比率估計量」(Ratio Estimator)，公式為 $\hat{p} = \sum a_i / \sum M_i$。
- 變異數估計：比例估計量的變異數公式較複雜，涉及 $a_i - \hat{p}M_i$ 的變項：$\hat{V}(\hat{p}) = \frac{1-f}{n \bar{M}^2} \frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}$。
小題 (三)
該連鎖超商的員工福利委員會認為目前的輪休制度對員工不公平，遂提出了修正版本。現欲估計員工支持此修正版的輪休制度的比例，應該抽取多少家分店進行調查，才能達到95%誤差界限為0.05的要求？（5分）
思路引導 VIP
- 樣本數計算：針對叢集抽樣的比例估計量。
- 公式：$n = \frac{N s_c^2}{N D + s_c^2}$，其中 $s_c^2$ 是叢集變異數 $\frac{\sum (a_i - \hat{p}M_i)^2}{n-1}$，而 $D = (B^2 \bar{M}^2) / z^2$。