高考申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
為推估三民市內之便利商店每日營業額以作為評估是否應該投入經營 便利商店之參考，某人在三民市內總數為 50 間的便利商店中，以簡單隨 機抽樣取出不放回的方式選擇了 10 間便利商店，並詢問其店長當日該 店預估之營業額，同時並提供 200 元之禮券以答謝店長之合作。調查所 得資料中，10 間樣本便利商店之日營業額資料如下：（樣本平均為 6 萬 元，樣本變異數為 2.67（萬元）^2） 商店編號 1 5 6 14 17 21 32 42 43 45 日營業額（萬元）5 3 6 6 6 7 8 4 7 8 某人又由上表的 10 間商店中，以簡單隨機抽樣取出不放回的方式選擇其 中 5 間，請店長提供其當日營業報表之總結摘要，以記錄其實際日營業額， 同時又額外提供 1000 元禮券給這 5 位店長作為答謝。其資料如下： 商店編號 5 17 21 32 42 報表摘要日營業額（萬元） 5 9 9 11 8 請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
為推估三民市內之便利商店每日營業額以作為評估是否應該投入經營 便利商店之參考，某人在三民市內總數為 50 間的便利商店中，以簡單隨 機抽樣取出不放回的方式選擇了 10 間便利商店，並詢問其店長當日該 店預估之營業額，同時並提供 200 元之禮券以答謝店長之合作。調查所 得資料中，10 間樣本便利商店之日營業額資料如下：（樣本平均為 6 萬 元，樣本變異數為 2.67（萬元）^2） 商店編號 1 5 6 14 17 21 32 42 43 45 日營業額（萬元）5 3 6 6 6 7 8 4 7 8 某人又由上表的 10 間商店中，以簡單隨機抽樣取出不放回的方式選擇其 中 5 間，請店長提供其當日營業報表之總結摘要，以記錄其實際日營業額， 同時又額外提供 1000 元禮券給這 5 位店長作為答謝。其資料如下： 商店編號 5 17 21 32 42 報表摘要日營業額（萬元） 5 9 9 11 8 請回答下列問題：（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請以適當之方式推估三民市之便利商店之平均日營業額及其 95%信賴區間。
思路引導 VIP
本題是典型的「兩相抽樣」（Two-phase sampling）或稱「雙重抽樣」。第一相有 10 個「估計值」(輔助變數 $x$)，第二相從中選 5 個「實際值」(感興趣變數 $y$)。適合使用比率估計或迴歸估計。解題時需計算這 5 間店的 $x$ 與 $y$ 之關係。
小題 (二)
在這次調查中總共花費了 7,000 元購買禮券，請問若想再執行一次抽樣設計相同之調查，但將購買禮券之預算增加為 8,000 元，請問直接詢問店長日營業額及查閱營業報表之樣本數應如何配置為宜？
思路引導 VIP
這是成本限制下的最佳樣本數配置問題。已知第一相成本 $c_1=200$，第二相成本 $c_2=1000$。預算 $C = n \cdot c_1 + n' \cdot c_2$。目標是最小化估計量的方差。需要利用兩相抽樣的最佳比例公式 $n'/n = \sqrt{(c_1/c_2) \cdot (V_{ratio}/V_{residual})}$（簡化版思路）。