地特三等申論題
109年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
簡單隨機抽樣可分為取出不放回及取出放回兩大類，樣本觀察值之平均在兩種設計中均為母體平均 µ 之不偏估計，若樣本數為 n，so 為樣本集合，該不偏估計為 $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i \in S_o} y_i$。
簡單隨機抽樣可分為取出不放回及取出放回兩大類，樣本觀察值之平均在兩種設計中均為母體平均 µ 之不偏估計，若樣本數為 n，so 為樣本集合，該不偏估計為 $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i \in S_o} y_i$。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
如果均以 $\bar{y}$ 作為 µ 之估計量，雖然均為樣本中觀察值之平均，但在相同的樣本數下，取出不放回的設計會比取出放回相對較有效（more efficient），請闡述其原因，並討論其相對有效性與樣本數及母體數之關係。（10分）
思路引導 VIP
看到比較兩種抽樣設計的「相對有效性」，應立刻直覺聯想到比較兩者的「估計量變異數」。請先列出取出不放回（SRSWOR）與取出放回（SRSWR）之樣本平均數變異數公式並計算其差值，再透過兩變異數之比值（相對有效性 RE）探討其與樣本數 n 及母體數 N 的極限關係。
小題 (二)
在取出放回的設計中有另外一個母體平均 µ 之不偏估計，該估計為樣本中不同單元觀察值之平均，亦即若有重複出現之單元，其觀察值只會被計入一次，該不偏估計量為 $\bar{y}_v = \frac{1}{v} \sum_{i \in s} y_i$。其中 s 為 so 中不同單元所構成之集合，ν 為 s 中之單元數目，且 ν ≤ n。抽樣理論中之一基本結果為在簡單隨機抽樣取出放回設計中，$\bar{y}_v$ 亦較 $\bar{y}$ 相對較有效，請說明其理由。（5分）
思路引導 VIP
看到比較兩個不偏估計量有效性的問題，應首先聯想到 Rao-Blackwell 定理或條件變異數定理（Law of Total Variance）。將包含重複元素的樣本平均 y_bar 取以「不同單元集合 s」為條件的期望值，證明其等於 y_v_bar，再利用條件變異數恆正的性質得出變異數大小關係。