地特三等申論題
110年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
三、(一)抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有哪些？（10 分） (二)考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異數最小的各層樣本數最佳配置為 n_i = n * (N_i * sigma_i / sqrt(c_i)) / sum(N_k * sigma_k / sqrt(c_k))，其中 N_i 是第 i 分層的大小，sigma_i^2 是第 i 分層的變異數，c_i 是由第 i 分層獲得一觀察值的成本。（15 分） (三)考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
三、(一)抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有哪些？（10 分） (二)考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異數最小的各層樣本數最佳配置為 n_i = n * (N_i * sigma_i / sqrt(c_i)) / sum(N_k * sigma_k / sqrt(c_k))，其中 N_i 是第 i 分層的大小，sigma_i^2 是第 i 分層的變異數，c_i 是由第 i 分層獲得一觀察值的成本。（15 分） (三)考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
抽樣時，採分層隨機抽樣方法而不採用簡單隨機抽樣方法的原因有哪些？（10 分）
思路引導 VIP
看到比較分層與簡單隨機抽樣的題目，先回想分層抽樣的核心目的：提高估計精確度（降低變異數）與確保各子群體的代表性。答題時建議條列式說明，涵蓋統計精確度（層內同質）、子群體估計、行政管理便利性及抽樣設計彈性等面向。
小題 (二)
考慮分層隨機抽樣，證明在抽樣總成本固定之下，使樣本平均之變異數最小的各層樣本數最佳配置為 n_i = n * (N_i * sigma_i / sqrt(c_i)) / sum(N_k * sigma_k / sqrt(c_k))。
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到分層隨機抽樣的最佳配置（Optimal Allocation）。解題核心在於利用拉格朗日乘數法（Lagrange Multiplier）或柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），將『總成本固定』設為限制條件，對變異數函數求極值。最終利用總樣本數 n 的關係消除比例常數，即可完成證明。
小題 (三)
考慮分層隨機抽樣，請問在那一種樣本配置下，母體平均估計量與簡單隨機抽樣時的母體平均估計量相同，試證明之。（10 分）
思路引導 VIP
看到題目要求「分層估計量等於簡單隨機抽樣估計量」，應立刻聯想到兩者的公式差異。將分層平均估計量公式與總樣本平均（SRS估計量）公式強制相等，比對各層加總項的係數，即可推導出各層樣本數與母體層大小成正比的條件。
分層隨機抽樣之原理與應用
💡 藉由母體分層以「層內同質、層間異質」特性提升估計精確度。
| 比較維度 | 分層隨機抽樣 | VS | 簡單隨機抽樣 (SRS) |
|---|---|---|---|
| 估計精確度 | 較高（消除層間變異） | — | 較低（受母體總變異影響） |
| 子群代表性 | 可確保各子群皆有樣本 | — | 小子群可能完全未被抽中 |
| 行政執行 | 便利，可分區分工管理 | — | 較困難，樣本分佈極散亂 |
| 所需資訊 | 需母體名冊及分層輔助變數 | — | 僅需完整的母體名冊 |
💬分層抽樣利用輔助資訊優化精確度，而SRS則適用於母體同質性高且無輔助資訊時。
