地特三等申論題
107年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
一、某一種分層抽樣設計將母體分成三層，並且取得以下關於母體與樣本的相關資訊： ● 第一層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 10、樣本變異數是 800； ● 第二層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 20、樣本變異數是 700； ● 第三層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 30、樣本變異數是 600； 請回答：（t0.025(147) = 1.976233） (一)估計母體平均數。（5 分） (二)請提供信賴區間所需 t 分配的自由度。（10 分） (三)承上小題，提供母體平均數的 95%信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分）
一、某一種分層抽樣設計將母體分成三層，並且取得以下關於母體與樣本的相關資訊： ● 第一層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 10、樣本變異數是 800； ● 第二層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 20、樣本變異數是 700； ● 第三層有 100 個抽樣單元、樣本數是 50、樣本平均是 30、樣本變異數是 600； 請回答：（t0.025(147) = 1.976233） (一)估計母體平均數。（5 分） (二)請提供信賴區間所需 t 分配的自由度。（10 分） (三)承上小題，提供母體平均數的 95%信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計母體平均數。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗分層隨機抽樣的母體平均數估計。解題關鍵在於先算出母體總數以求得各層權重（W_h = N_h/N），再利用各層權重與各層樣本平均數計算加權平均（$\bar{y}_{st} = \sum W_h \bar{y}_h$）即可得出答案。
小題 (二)
請提供信賴區間所需 t 分配的自由度。（10 分）
思路引導 VIP
看到分層隨機抽樣中求信賴區間的自由度，應聯想到概略自由度公式（總樣本數減去層數，即各層自由度之和）。此外，強烈建議觀察題幹提供的統計量提示（如本題的 t 分配數值），即可確認出題者期望使用的自由度。
小題 (三)
承上小題，提供母體平均數的 95%信賴區間（答案請四捨五入到第二位小數）。（10 分）
思路引導 VIP
本題重點在於分層抽樣母體平均數的信賴區間建構。首先需算出分層樣本平均數的變異數估計值（須留意有限母體校正乘數），接著將其開根號得出標準誤，最後套用已知的 t 值計算 95% 信賴區間的上下限。