地特三等申論題
111年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
稽核單位欲了解申報資料的正確性，將申報資料共 10,000 件依其營業特性別分成四層，每層的案件數分別為 N1=1,000; N2=3,000; N3=4,000; N4=2,000，再由每層抽取一簡單隨機樣本 n1=10; n2=30; n3=40; n4=20 進行查核。查核結果彙整如下表： 層別 1 / 2 / 3 / 4 短漏報件數 5 / 6 / 8 / 2 平均短漏報金額（萬元） 15 / 10 / 8 / 4 短漏報金額標準差（萬元） 40 / 30 / 50 / 10
稽核單位欲了解申報資料的正確性，將申報資料共 10,000 件依其營業特性別分成四層，每層的案件數分別為 N1=1,000; N2=3,000; N3=4,000; N4=2,000，再由每層抽取一簡單隨機樣本 n1=10; n2=30; n3=40; n4=20 進行查核。查核結果彙整如下表： 層別 1 / 2 / 3 / 4 短漏報件數 5 / 6 / 8 / 2 平均短漏報金額（萬元） 15 / 10 / 8 / 4 短漏報金額標準差（萬元） 40 / 30 / 50 / 10
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
配合前述抽樣設計，回答以下問題：
1. 估計平均短漏報金額（Y）及該估計量之標準誤。
2. 估計短漏報比例（P）及該估計量之標準誤。
思路引導 VIP
本題考查「分層隨機抽樣」的點估計與標準誤推導計算。解題時應先求出各層權數 (Wh) 與抽樣率 (fh)，發現抽樣率均為 1% 即屬「比例配置」。接著分別代入分層平均數與比例的加權估計公式；計算變異數時務必納入有限母體修正因數 (fpc)，且求比例變異數之不偏估計量時，分母應採用 nh-1 以求嚴謹。
小題 (二)
假設前述資訊已知，原樣本配置方式改為何種配置方式將可提高估計精確度？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應先計算原樣本的配置比例，發現其與母體各層級比例完全一致，即原設計為「比例配置」。接著觀察題幹給定的各層標準差（變異程度）差異甚大，應立刻聯想到在未考量成本差異下，改用「紐曼配置（Neyman Allocation）」將高變異層級分配更多樣本，可最小化估計量變異數以提高精確度。
小題 (三)
依(二)所建議之配置方式回答以下問題：
1. 若針對估計均數Y，如何配置樣本 n=100 到各層？
2. 若針對估計比例 P，如何配置樣本 n=100 到各層？
思路引導 VIP
此題考查分層隨機抽樣的「奈曼最適配置（Neyman Allocation）」，核心概念是將樣本優先配置給「母體數量大」且「變異程度高」的層別。估計均數時，直接使用題幹提供的各層標準差；估計比例時，需先利用各層短漏報件數求出比例 p_h，並以 √(p_h(1-p_h)) 作為該層標準差估計值。最後套用配置公式並四捨五入取整數即可。