地特三等申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
行政院主計總處對家戶所得與消費支出之關係,作了一些研究。將所得與消費支出分別以X與Y表示。已知(X, Y)之聯合動差母函數(joint moment generating function)為M(x,y) (t1, t2) = exp {2t₁ +t2+0.5t₁t2 +2.5t² + 2t2}。 請回答下列問題:(每小題 10分,共40分)
行政院主計總處對家戶所得與消費支出之關係,作了一些研究。將所得與消費支出分別以X與Y表示。已知(X, Y)之聯合動差母函數(joint moment generating function)為M(x,y) (t1, t2) = exp {2t₁ +t2+0.5t₁t2 +2.5t² + 2t2}。 請回答下列問題:(每小題 10分,共40分)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
求出給定消費支出Y=1之下,所得X之條件機率密度函數。
思路引導 VIP
看到聯合動差母函數呈指數二次多項式，應立刻聯想到「二元常態分配」。先藉由比對標準公式的係數，求出 X 與 Y 的期望值、變異數與共變異數，再代入常態分配的條件期望值與條件變異數公式，即可順利寫出條件機率密度函數。
小題 (二)
求出條件期望值E(X|Y)之變異數Var[E(X | Y)]。
思路引導 VIP
看到二元隨機變數的聯合動差母函數（MGF），首要步驟是將其指數項展開，與二元常態分配的標準 MGF 形式進行係數對照，藉此求出 X 與 Y 的期望值、變異數及共變異數。接著可利用二元常態分配的條件期望值性質求出 E(X|Y) 的函數形式再取變異數，或直接利用公式 Var[E(X|Y)] = [Cov(X,Y)]² / Var(Y) 來求解。
小題 (三)
求出消費支出為1之下,所得大於2之條件機率P(X > 2| Y = 1)。
思路引導 VIP
看到指數型式的聯合動差母函數，應立即聯想到「二元常態分配」。解題關鍵在於提取兩變數的期望值、變異數及共變異數，接著代入二元常態的條件分配公式，得出 X|Y=1 的分配參數，最後透過標準化求出機率。
小題 (四)
令隨機變數Z= (Y −1)²,求出 Z之機率密度函數。
思路引導 VIP
看到聯合動差母函數（MGF），先將不相關的變數 t₁ 設為0，求出 Y 的邊際 MGF，進而辨識出 Y 的分配（常態分配）。接著針對 Z = (Y-1)²，可透過「累積分配函數法（CDF method）」或標準常態的卡方分配性質，推導出 Z 的機率密度函數。