地特三等申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
設 X1 和 X2 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}，0 < x < ∞，0 < θ < ∞。 請回答下列問題：（每小題 6 分，共 24 分） (一)證明 X1 + X2 是 θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 (二)求 Y1 = X1 + X2 和 Y2 = X2 的聯合機率密度函數。 (三)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，計算已知 Y1 下，Y2 的期望值，即 E(Y2 | Y1)。 (四)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
設 X1 和 X2 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}，0 < x < ∞，0 < θ < ∞。 請回答下列問題：（每小題 6 分，共 24 分） (一)證明 X1 + X2 是 θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 (二)求 Y1 = X1 + X2 和 Y2 = X2 的聯合機率密度函數。 (三)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，計算已知 Y1 下，Y2 的期望值，即 E(Y2 | Y1)。 (四)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
證明 X1 + X2 是 θ 的充分統計量（sufficient statistic）。
思路引導 VIP
看到「證明某統計量為充分統計量」，首選方法為「Neyman 因子分解定理（Factorization Theorem）」。先寫出隨機變數的聯合機率密度函數，然後將其分解為「僅含統計量與參數的函數」及「僅含樣本資料的函數」相乘的形式即可得證。
小題 (二)
求 Y1 = X1 + X2 和 Y2 = X2 的聯合機率密度函數。
思路引導 VIP
看到兩個隨機變數的函數轉換，應立即想到「雙變數變換法（Jacobian 方法）」。解題步驟依序為：寫出原聯合分配、找出反函數、計算 Jacobian 行列式，最後務必利用原變數的定義域推導出新變數 Y1, Y2 的正確範圍（Support），這是此類題型的得分關鍵。
小題 (三)
Y1 和 Y2 如題(二)所定義，計算已知 Y1 下，Y2 的期望值，即 E(Y2 | Y1)。
思路引導 VIP
本題測驗條件期望值的計算。先利用題(二)的聯合機率密度函數，求出給定 Y₁ 下 Y₂ 的條件機率密度函數，接著再計算條件分配的期望值；也可透過兩個獨立同分配變數的對稱性快速求出結果並作為驗證。
小題 (四)
Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
思路引導 VIP
本題測驗條件期望值與變異數性質的結合應用。先代入前一題求得的條件期望值結果 E(Y2|Y1)，再利用變異數提出常數的性質，以及獨立變數變異數可相加的特性，計算 Var(Y1) 即可輕鬆推得解答。