高考申論題
112年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
令 X1, ..., Xn 為抽取自 f(x; θ) = θe^(-θx), x > 0 之隨機樣本。求下列參數的齊一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）： (一) θ。(10 分) (二) 1/θ。(15 分)
令 X1, ..., Xn 為抽取自 f(x; θ) = θe^(-θx), x > 0 之隨機樣本。求下列參數的齊一最小變異不偏估計（Uniformly Min. Variance Unbiased Estimator）： (一) θ。(10 分) (二) 1/θ。(15 分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
θ。(10 分)
思路引導 VIP
看到尋求 UMVUE 的題目，直覺應想到「充分且完備統計量」與「Lehmann-Scheffé 定理」。先利用聯合機率密度函數找到充分且完備統計量 $T=\sum X_i$，推導出 $T$ 的抽樣分配後，再建構 $T$ 的函數使其期望值剛好等於目標參數 $\theta$。
小題 (二)
1/θ。(15 分)
思路引導 VIP
看到題目要求尋找「齊一最小變異不偏估計量（UMVUE）」，直覺應聯想到 Lehmann-Scheffé 定理。解題分為兩步：首先利用聯合機率密度函數與指數族特性，找出參數的完備充份統計量（Complete Sufficient Statistic）；接著，找尋一個僅基於該統計量且期望值等於欲估計參數（1/θ）的函數，即可嚴謹證明其為 UMVUE。