高考申論題
105年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
已知隨機變數 X 的機率密度函數為 f(x) = { (θ+1)x^θ, 0 < x < 1; 0, 其他 }，其中未知參數 θ > -1。又令 x1, x2, ..., xn 為抽自 X 之一組大小為 n 的隨機樣本，則：
已知隨機變數 X 的機率密度函數為 f(x) = { (θ+1)x^θ, 0 < x < 1; 0, 其他 }，其中未知參數 θ > -1。又令 x1, x2, ..., xn 為抽自 X 之一組大小為 n 的隨機樣本，則：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試以動差法（method of moments）求 θ 之點估計量。（12 分）
思路引導 VIP
動差法的核心精神為「以樣本動差配適母體動差」。本題僅有一個未知參數，因此只需先計算出一階母體動差（即期望值 E(X)），再令其等於一階樣本動差（即樣本平均數 X̄），最後透過代數移項解出參數 θ 即可。
小題 (二)
試以最大概似法（method of maximum likelihood）求 θ 之點估計量。（12 分）
思路引導 VIP
看到「最大概似法（MLE）」，解題標準作業程序（SOP）為：1. 寫出樣本的聯合機率密度函數以建構概似函數。2. 兩邊取自然對數以簡化連乘積為連加。3. 對未知參數微分解出臨界點，並透過二階導數小於零驗證其為極大值。