第 一 題

【解題思路】運用動差法原理，令一階母體動差等於一階樣本動差以求解未知母數。 【詳解】 已知：母體 $X \sim Poisson(\lambda)$，隨機樣本為 $X_1, X_2, \dots, X_n$。

【解題思路】利用概似函數與對數概似函數，透過一階微分求臨界點及二階微分檢驗極值，找出使該組樣本發生機率最大的參數估計量。 【詳解】 已知：隨機樣本 X1, X2, …, Xn 獨立且相同分配（i.i.d.）於 Poisson(λ)。

【解題思路】利用極限性質（期望值與變異數極限）驗證一致性，並以 Fisher-Neyman 因子分解定理驗證充分性。 【詳解】 已知：自 $X \sim Poisson(\lambda)$ 抽出獨立且同分配 (i.i.d.) 的隨機樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$。母體機率函數為 $f(x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$，且已知 $E(X_i) = \lambda, Var(X_i) = \lambda$。其 MLE 經過概似函數微分推導已知為 $\hat{\lambda} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。