高考申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
令隨機變數 X 和 Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 λ_1 和 λ_2。令 Z=X+Y。（每小題 10 分，共 20 分）
令隨機變數 X 和 Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 λ_1 和 λ_2。令 Z=X+Y。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
推導求得隨機變數 Z 的機率分配（probability distribution）。
思路引導 VIP
面對獨立隨機變數相加求機率分配的題目，考生應直覺聯想到兩種標準解法：一是『卷積法（Convolution）』，直接透過全機率定理與二項式定理推導機率質量函數；二是『動差母函數法（MGF）』，利用獨立變數 MGF 相乘的特性與唯一性定理來證明。建議答題時以卷積法為主展現代數推導能力，或以 MGF 法展現對分配性質的熟練。
小題 (二)
若 λ_1=3 和 λ_2=5，試求隨機變數 Z 之變異數（variance）與 Z<3 的機率（P(Z<3)=？）。
思路引導 VIP
看到兩獨立卜瓦松分配之和，首要想到的就是「卜瓦松分配的可加性」，可利用動差母函數（MGF）嚴謹證明其分配性質。確立 Z ~ Poisson(λ1+λ2) 後，即可直接應用卜瓦松分配的變異數特性及機率質量函數（PMF）來求解。
小題 (三)
欲檢定H:β₁ = 0 vs. H₁ :β₁≠0,已收集下列資料
X₁ 4 9 4 16 1
Y₁ 2 5 2 10 1
請利用收集之資料,以 0.05 之顯著水準,檢定上述之假設。
(註:若令T(d)為具有自由度為d之t分配的隨機變數,則已知P(T(3) < 2.353) = 0.95,
P(T(3) <3.182) = 0.975, P(T(4) < 2.132) = 0.95, P(T(4) <2.776) = 0.975
思路引導 VIP
本題考查無截距項線性迴歸模型的假設檢定。首先需將自變數變換為 Z_i = $\sqrt{X_i}$，接著利用最小平方法（OLS）推導出 $\hat{\beta}_1$的估計式。計算過程需特別注意無截距模型殘差平方和（SSE）的自由度為 n-1，進而求得誤差變異數估計並代入 t 檢定統計量與臨界值比較。
小題 (四)
若真實之廻歸模型為Y₁ = β + β₁√X₁+E₁,請用題(←)之戶去估計真實模型中之β,求出其偏誤(bias)。
思路引導 VIP
這是一道探討「模型設定錯誤（Model Misspecification）」的經典證明題。考生看到此題時，應先聯想到原假設無截距模型下，利用最小平方法求出的斜率估計量（即第一小題的解答）。接著，將「真實模型」的期望值代入該估計量中展開，最後利用偏誤定義（期望值減去真實參數）求出結果。