高考申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
令隨機變數 X 和 Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 λ_1 和 λ_2。令 Z=X+Y。（每小題 10 分，共 20 分）
令隨機變數 X 和 Y 為獨立的卜瓦松分配（Poisson distribution），其參數各為 λ_1 和 λ_2。令 Z=X+Y。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
推導求得隨機變數 Z 的機率分配（probability distribution）。
思路引導 VIP
面對獨立隨機變數相加求機率分配的題目，考生應直覺聯想到兩種標準解法：一是『卷積法（Convolution）』，直接透過全機率定理與二項式定理推導機率質量函數；二是『動差母函數法（MGF）』，利用獨立變數 MGF 相乘的特性與唯一性定理來證明。建議答題時以卷積法為主展現代數推導能力，或以 MGF 法展現對分配性質的熟練。
小題 (二)
若 λ_1=3 和 λ_2=5，試求隨機變數 Z 之變異數（variance）與 Z<3 的機率（P(Z<3)=？）。
思路引導 VIP
看到兩獨立卜瓦松分配之和，首要想到的就是「卜瓦松分配的可加性」，可利用動差母函數（MGF）嚴謹證明其分配性質。確立 Z ~ Poisson(λ1+λ2) 後，即可直接應用卜瓦松分配的變異數特性及機率質量函數（PMF）來求解。