高考申論題
114年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達 45 分鐘以上、或是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達 2 小時以上，旅客皆可申請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤點機率分別為 3/4 與 1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平均數為 50 與 100 之波瓦松分配。（每小題 10 分，共 30 分）
搭乘甲鐵路對號列車，因可歸責鐵路公司致誤點達 45 分鐘以上、或是不可歸責鐵路公司的天災人禍致誤點達 2 小時以上，旅客皆可申請免費搭乘同區間同等級列車一次。假設上述可歸責與不可歸責之誤點機率分別為 3/4 與 1/4，而其對應的每年受影響旅客人數分別服從平均數為 50 與 100 之波瓦松分配。（每小題 10 分，共 30 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之機率分配為何？
思路引導 VIP
本題測驗『混合分配（Mixture Distribution）』的概念。看到不同情境伴隨不同的發生機率，且各自對應不同的條件機率分配時，應直覺想到運用『全機率定理』，將兩個條件波瓦松（Poisson）分配依其發生機率進行加權，求出邊際機率質量函數。
小題 (二)
試問每年可申請免費搭乘同區間同等級列車旅客人次之期望值與標準差。
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻辨識出這是「混合分配（Mixture Distribution）」的題型。遇到這類題目，標準作法是設定狀態變數表示不同情境，並利用「全期望值定理」與「全變異數定理」逐步拆解條件期望值與條件變異數，切忌直接將平均數與機率相乘後當作單一 Poisson 分配計算。
小題 (三)
若可歸責業者與不可歸責業者之誤點時間分別服從平均數為 1 小時與 5 小時之指數分配，試問誤點對號列車中，誤點時間超過 2 小時之比例約多少？
思路引導 VIP
本題測驗「全機率定理」與「指數分配」的綜合應用。考生應先根據題意寫出兩種誤點情況的指數分配參數（注意平均數與參數互為倒數關係），再分別求出條件機率，最後利用全機率定理將各條件下超過 2 小時的機率依發生權重相加即可得解。
小題 (四)
在(三)的多元線性迴歸模型所得之變異數分析（ANOVA）表如下：
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
迴歸 256.61 2 128.305 24.291
殘差 248.27 47 5.282
總變異 504.88 49
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
變異來源 平方和 自由度 均方 F 值
迴歸 256.61 2 128.305 24.291
殘差 248.27 47 5.282
總變異 504.88 49
請檢定在耕作面積已經列為線性迴歸模型的解釋變數之情形下，當信心水準為 95%時，氮肥用量是否為顯著之解釋變數。請敘述恰當之虛無及對立假設、檢定統計量、檢定原則及檢定結果。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查多元迴歸中的「部分 F 檢定」（Partial F-test）。解題關鍵在於利用已知的「產量與耕作面積相關係數」求出簡單線性迴歸的迴歸平方和，再透過給定的 ANOVA 表計算出「額外平方和」（Extra Sum of Squares），藉此評估新增「氮肥用量」變數的邊際顯著性。
混合機率模型與分配
💡 運用全機率定理處理多來源樣本之分配特徵與動差計算。
- 混合分配之 PMF 為各成分分配依權重機率進行線性組合。
- 指數分配生存函數 $P(X > x) = e^{-x/\beta}$ 之機率計算應用。
- 總期望值為分組期望值加權，變異數須包含組內與組間變異。
- 計算複合事件比例時，應優先使用全機率定理將條件機率加總。
