高考申論題
110年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線 A 平均每 2 小時會產出一件不良品，而生產線 B 則是平均每 3 小時會產出一件不良品，假定兩條生產線互相獨立而且不良品的產出均服從布瓦松過程（Poisson Process），在每天上午 8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題：
鎮平公司有兩條生產線，假定生產線 A 平均每 2 小時會產出一件不良品，而生產線 B 則是平均每 3 小時會產出一件不良品，假定兩條生產線互相獨立而且不良品的產出均服從布瓦松過程（Poisson Process），在每天上午 8 點兩條生產線同時開動後，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
試問生產線 B 在中午 12 點暫停休息之前，沒有產出任何一件不良品之機率為何？（10 分）
思路引導 VIP
本題考查布瓦松過程（Poisson Process）的基本機率計算。看到這類題目，首先釐清「時間長度」與「單位時間發生率」，計算出給定時間內的期望發生次數（λt），再代入布瓦松分配的機率質量函數（PMF）求解。
小題 (一)
第一件不良品是由生產線 A 生產出來的機率為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到布瓦松過程（Poisson Process）求「第一次發生時間」，應立即聯想到等價的連續分配——指數分配（Exponential Distribution）。將問題轉化為兩獨立指數分配隨機變數的比較 $P(X < Y)$，透過聯合機率密度函數的雙重積分即可嚴謹求得解答。