高考申論題
108年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
假設 X 和 Z 為獨立的隨機變數，其 X 的機率密度函數（probability density function (pdf)）為 f_x(x) = 2e^{-2x}， x ≥ 0 ，Z 的 pdf 為 f_z(z) = 3e^{-3z}，z ≥ 0。設 Y=minimum(X, Z)（即 X 和 Z 的最小值），U = E(Y) + 2\sqrt{V(Y)} 且 L = E(Y) - 2\sqrt{V(Y)} ，其中 E(Y)為 Y 的期望值，V(Y)為 Y 的變異數。
假設 X 和 Z 為獨立的隨機變數，其 X 的機率密度函數（probability density function (pdf)）為 f_x(x) = 2e^{-2x}， x ≥ 0 ，Z 的 pdf 為 f_z(z) = 3e^{-3z}，z ≥ 0。設 Y=minimum(X, Z)（即 X 和 Z 的最小值），U = E(Y) + 2\sqrt{V(Y)} 且 L = E(Y) - 2\sqrt{V(Y)} ，其中 E(Y)為 Y 的期望值，V(Y)為 Y 的變異數。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請推導出 Y 的 pdf。（7 分）
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看到「最小值(minimum)」的分配，首先要聯想到次序統計量(Order Statistics)或是利用累積分配函數(CDF)的方法來推導。因為 X 和 Z 都是獨立的指數分配，利用 P(Y > y) = P(X > y) * P(Z > y) 可以非常快速地求得 Y 的倖存函數(Survival function)，進而推導出 pdf。同時，這是統計學中極為經典的結論：兩個獨立指數分配之最小值的分配，仍為指數分配，且參數為兩者參數之和。
小題 (二)
若 L
思路引導 VIP
這題需要先計算出 L 和 U 的具體數值。既然在前一題已經知道 Y 是 Exp(5)，可以直接套用指數分配的期望值與變異數公式 (E(Y)=1/λ, V(Y)=1/λ^2)。算出 L 和 U 後，求 P(L < Y < U)。這裡要特別注意的是，計算出的 L 可能是負數，但 Y 的定義域是從 0 開始，因此下界要截斷在 0。
小題 (三)
承(二)子題，若自 Y 的分配隨機抽取樣本大小為 5 的一個樣本組。試問有 3 個正常和 2 個異常的機率。（8 分）
思路引導 VIP
看到「抽取樣本大小為 n」、「成功次數為 k」這類題型，立刻聯想到二項分配 (Binomial Distribution)。我們已經在上一題算出了單次抽樣為「正常」的機率 p。接下來只需代入二項分配的公式 P(W=3) 即可求解，n=5, w=3。
小題 (四)
令變數U = min{Y₁, Y₂}及V = max{Y₁, Y₂},求出機率P(U < 6, V > 10)。
思路引導 VIP
看到自由度為2的卡方分配，應直覺聯想到其等價於參數為1/2的指數分配，藉此快速寫出累積分配函數(CDF)。接著，將順序統計量 U(最小值) 與 V(最大值) 的聯合機率條件，利用獨立性轉換為原始樣本 Y₁ 與 Y₂ 的組合事件機率來求解。
📜 參考法條
表一 附表：Z 值表
表二 附表：t 值表
表三 附表：卡方分配臨界值表
表四 附表：F0.05(v1, v2)值表