高考申論題
113年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
臺灣量子國家隊已成軍 5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出 5 量子位元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令變數 T1, T2, T3 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元件的壽命是 X = Max{Min{T1, T2}, T3}，此處 Max{a, b} 代表取 a, b 之最大值，Min{a, b} 代表取 a, b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨立，皆服從具有平均數為 2 之指數分配。（每小題 10 分，共 20 分）
臺灣量子國家隊已成軍 5 年，去年突破技術瓶頸，成功自製出 5 量子位元之超導量子電腦，象徵著臺灣的量子時代來臨。已知團隊開發的量子電腦有一個核心的元件，此核心元件是由三個電路組件串聯及並聯構成。令變數 T1, T2, T3 分別代表此三個電路組件的壽命，此核心元件是先由第一及第二個電路組件串聯後，再和第三個電路組件並聯而成，因此整個核心元件的壽命是 X = Max{Min{T1, T2}, T3}，此處 Max{a, b} 代表取 a, b 之最大值，Min{a, b} 代表取 a, b 之最小值。假設此三個電路組件的壽命彼此相互獨立，皆服從具有平均數為 2 之指數分配。（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求出變數 X 之機率密度函數 f(x)。
思路引導 VIP
- 辨識參數：指數分配平均數為 $2 \implies \lambda = 1/2 = 0.5$。CDF $F_T(t) = 1 - e^{-0.5t}$。2. 結構分析：$X = \max(Z, T_3)$，其中 $Z = \min(T_1, T_2)$。3. 步驟：先求 $Z$ 的 CDF，再求 $X$ 的 CDF，最後微分得到 PDF。
小題 (二)
求出變數 X 之變異數 Var(X)。
思路引導 VIP
- 核心觀念：變異數公式 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。2. 步驟：利用指數分配的動差性質 $E[T^k] = k! / \lambda^k$。分別計算 $E[X]$ 與 $E[X^2]$，由於 $f(x)$ 是多個指數密度函數的線性組合，可以直接利用線性性質求解。