高考申論題
108年
[統計] 統計學
第 四 題
📖 題組：
新北市捷運環狀線部分路段預定在2019年年底完工通車,目前已進入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時間是服從具有自由度為2的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系統,得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本,分別以Y₁與Y₂表示。 (每小題10分,共40分)
新北市捷運環狀線部分路段預定在2019年年底完工通車,目前已進入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時間是服從具有自由度為2的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系統,得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本,分別以Y₁與Y₂表示。 (每小題10分,共40分)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
令變數U = min{Y₁, Y₂}及V = max{Y₁, Y₂},求出機率P(U < 6, V > 10)。
思路引導 VIP
看到自由度為2的卡方分配，應直覺聯想到其等價於參數為1/2的指數分配，藉此快速寫出累積分配函數(CDF)。接著，將順序統計量 U(最小值) 與 V(最大值) 的聯合機率條件，利用獨立性轉換為原始樣本 Y₁ 與 Y₂ 的組合事件機率來求解。
小題 (一)
請推導出 Y 的 pdf。（7 分）
思路引導 VIP
看到「最小值(minimum)」的分配，首先要聯想到次序統計量(Order Statistics)或是利用累積分配函數(CDF)的方法來推導。因為 X 和 Z 都是獨立的指數分配，利用 P(Y > y) = P(X > y) * P(Z > y) 可以非常快速地求得 Y 的倖存函數(Survival function)，進而推導出 pdf。同時，這是統計學中極為經典的結論：兩個獨立指數分配之最小值的分配，仍為指數分配，且參數為兩者參數之和。
小題 (二)
若 L
思路引導 VIP
這題需要先計算出 L 和 U 的具體數值。既然在前一題已經知道 Y 是 Exp(5)，可以直接套用指數分配的期望值與變異數公式 (E(Y)=1/λ, V(Y)=1/λ^2)。算出 L 和 U 後，求 P(L < Y < U)。這裡要特別注意的是，計算出的 L 可能是負數，但 Y 的定義域是從 0 開始，因此下界要截斷在 0。
小題 (三)
承(二)子題，若自 Y 的分配隨機抽取樣本大小為 5 的一個樣本組。試問有 3 個正常和 2 個異常的機率。（8 分）
思路引導 VIP
看到「抽取樣本大小為 n」、「成功次數為 k」這類題型，立刻聯想到二項分配 (Binomial Distribution)。我們已經在上一題算出了單次抽樣為「正常」的機率 p。接下來只需代入二項分配的公式 P(W=3) 即可求解，n=5, w=3。