高考申論題
107年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
三、一隨機變數Ｙ=-2logX，其中隨機變數 X 具有混合型的機率密度函數如下： f (x)=0.8 0
三、一隨機變數Ｙ=-2logX，其中隨機變數 X 具有混合型的機率密度函數如下： f (x)=0.8 0
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求隨機變數Ｙ的機率密度函數，並計算Ｙ的中位數。（10 分）
思路引導 VIP
本題涉及「混合型分配」的變數變換。$X$ 在 $x=1$ 有點機率（離散），在 $0<x<1$ 有密度（連續）。
- 處理離散點：當 $X=1$ 時，$Y = -2 log(1) = 0$。故 $P(Y=0) = P(X=1) = 0.2$。
小題 (二)
求隨機變數Ｙ的動差生成函數，並計算Ｙ的平均數。（15 分）
思路引導 VIP
- MGF 定義：$M_Y(t) = E[e^{tY}]$。由於是混合型，必須同時考慮離散點與連續積分項。
- 平均數：可以由 $M_Y'(0)$ 求得，或直接利用 $E[Y] = E[-2 ln X]$ 計算。