高考申論題
110年
[統計] 統計學
第 二 題
📖 題組：
一、令 X1 與 X2 為具獨立同分布、期望值 1/λ 的指數（exponential）隨機變數。令 Y1 = X1 − X2 以及 Y2 = X2。（每小題 10 分，共 20 分） (一)試求 Y1 與 Y2 之聯合機率密度函數。 (二)試求 Y1 之邊際機率密度函數。
一、令 X1 與 X2 為具獨立同分布、期望值 1/λ 的指數（exponential）隨機變數。令 Y1 = X1 − X2 以及 Y2 = X2。（每小題 10 分，共 20 分） (一)試求 Y1 與 Y2 之聯合機率密度函數。 (二)試求 Y1 之邊際機率密度函數。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
試求 Y1 之邊際機率密度函數。
思路引導 VIP
要求邊際 PDF，需將聯合 PDF 對另一變數（Y2）進行積分。此題的難點在於積分下限會隨 Y1 的正負而改變。當 Y1 > 0 時，y2 的下限是 0；當 Y1 < 0 時，y2 的下限是 -y1。這其實暗示了 Y1 遵循拉普拉斯分佈（雙指數分佈）。
小題 (一)
試求 Y1 與 Y2 之聯合機率密度函數。
思路引導 VIP
本題屬於隨機變數的變換（Transformation of Random Variables）。首先要寫出原始變數 X1, X2 的機率密度函數（PDF），注意題目給的是期望值 1/λ，代表母數為 λ。接著利用變數變換公式（Jacobian 矩陣法），找出 Y1, Y2 與 X1, X2 的對應關係及其 Jacobian 絕對值。最後最關鍵的是確定新變數 Y1, Y2 的定義域（Support）。