高考申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 四 題
📖 題組：
設 X1 和 X2 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}，0 < x < ∞，0 < θ < ∞。 請回答下列問題：（每小題 6 分，共 24 分） (一)證明 X1 + X2 是 θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 (二)求 Y1 = X1 + X2 和 Y2 = X2 的聯合機率密度函數。 (三)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，計算已知 Y1 下，Y2 的期望值，即 E(Y2 | Y1)。 (四)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
設 X1 和 X2 是兩個獨立且有相同分配的隨機變數，其機率密度函數如下所示： f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}，0 < x < ∞，0 < θ < ∞。 請回答下列問題：（每小題 6 分，共 24 分） (一)證明 X1 + X2 是 θ 的充分統計量（sufficient statistic）。 (二)求 Y1 = X1 + X2 和 Y2 = X2 的聯合機率密度函數。 (三)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，計算已知 Y1 下，Y2 的期望值，即 E(Y2 | Y1)。 (四)Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
Y1 和 Y2 如題(二)所定義，求 E(Y2 | Y1) 的變異數，即 Var(E(Y2 | Y1))。
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本題測驗條件期望值的變異數計算。考生應先代入前一小題求得的 E(Y2 | Y1) 結果，接著利用變異數算符的純量提出性質 Var(aX) = a²Var(X)，最後再透過 X1, X2 的獨立性及指數分配的變異數公式求出 Y1 的變異數即可得解。
小題 (一)
此遊戲玩 1 次的收益之期望值及標準差為何？（5 分）
思路引導 VIP
首先明確定義隨機變數為『淨收益』，並依據題意建構離散型隨機變數的機率分配表。接著代入期望值 $E(X)=\sum xP(x)$ 與變異數 $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 的公式進行代數運算，最後將變異數開平方根即可求得標準差。
小題 (二)
此遊戲玩 100 次的平均收益之期望值及標準差為何？（5 分）
思路引導 VIP
面對此類題目，首要步驟是定義「單次遊戲淨收益」的隨機變數，並列出其機率分配以求得母體期望值與變異數。接著，必須標明「各次投擲互相獨立」的前提，運用期望值算符的線性性質及變異數公式，推導出「樣本平均數（平均收益）」的分配特徵。
小題 (三)
如果你玩此遊戲 100 次，平均收益少於多少以下的機率為 95%？（10 分）
思路引導 VIP
本題核心在於求出單次淨收益的期望值與變異數，並結合大樣本的抽樣分配特性進行推論。看到「玩100次」與求「平均收益的機率」，考生應立即聯想到利用「中央極限定理 (CLT)」將樣本平均數近似為常態分配，接著透過標準化與查表求出臨界值。