高考申論題
110年
[統計] 統計學
第 一 題
令 $X, Y$ 的聯合機率密度函數 (Joint probability density function) 為 $f(x, y) = c y e^{-x^2/2}, 0 < y^2 < x < \infty$。求 $c$ 使得 $f(x, y)$ 符合聯合機率密度函數的要求；並求 $X, Y$ 的邊際機率密度函數 (Marginal probability density function)，$f_X(x)$、$f_Y(y)$、以及 $E(X)$、$Var(X)$。(25 分)
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
首先，利用機率密度函數 (PDF) 必須非負且總積分為 1 的性質，推論出 $y>0$ 的隱含條件並解出常數 $c$。接著，透過對聯合 PDF 分別積分求得單一變數的邊際分配。最後，利用期望值定義與 Gamma 函數積分技巧求解 $E(X)$ 及 $Var(X)$，亦可聯想 $X$ 屬於 Rayleigh 分配來驗證結果。
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【解題思路】首先利用機率密度函數非負性與總積分為 1 的性質解出常數 $c$，接著透過對單一變數積分求得邊際分配，最後運用 Gamma 函數積分技巧求出 $E(X)$ 與 $Var(X)$。 【詳解】 已知：聯合機率密度函數 $f(x, y) = c y e^{-x^2/2}$，且區域為 $0 < y^2 < x < \infty$。
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