高考申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 二 題
📖 題組：
設 X 及 Y 為兩個連續隨機變數，其聯合機率密度函數為當 0 ≤ x ≤ 2 且 0 ≤ y ≤ 2 ，則 f (x, y) = c y^2 x (1+x) ；否則 f (x, y) = 0 。試問：
設 X 及 Y 為兩個連續隨機變數，其聯合機率密度函數為當 0 ≤ x ≤ 2 且 0 ≤ y ≤ 2 ，則 f (x, y) = c y^2 x (1+x) ；否則 f (x, y) = 0 。試問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
找出 X 與 Y 的聯合累積機率密度函數（ 0 ≤ x ≤ a 及 0 ≤ y ≤ b ），a 及 b 介於 0 及 2 之間。（10 分）
思路引導 VIP
看到聯合機率密度函數，首要步驟是利用全機率總積分為1的性質求出未知常數 c。接著，根據聯合累積分配函數（CDF）的定義，對給定範圍區間 [0, a] 與 [0, b] 進行雙重定積分即可求得最終結果。
小題 (一)
c 值為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到求聯合機率密度函數的未知常數，首先想到利用「全定義域雙重積分等於 1」的基本性質。接著因為積分範圍都是常數，且被積分函數可分離為 x 與 y 的函數相乘，因此可拆解成兩個獨立的一維積分來簡化計算。
小題 (三)
X 與 Y 是否獨立？（5 分）
思路引導 VIP
判斷兩連續隨機變數是否獨立，首要觀察聯合機率密度函數是否能分解為僅含 X 的函數與僅含 Y 的函數之乘積（即 f(x,y)=g(x)h(y)）。同時，必須檢查其定義域是否為卡氏積（即 x 與 y 的範圍常數化，互不影響），本題可直接利用分解定理（Factorization Theorem）快速得證。