第 一 題

這是一道標準的聯合機率密度函數求常數題。關鍵考點在於「全機率為 1」。核心難點不在公式，而在於積分範圍。題目給定 x+y ≤ 1 且 x,y ≥ 0，這是一個位於第一象限的直角三角形區域，積分時必須正確設定上下限（例如對 y 積分從 0 到 1-x，再對 x 從 0 到 1 積分）。

邊際 pdf 就是將聯合 pdf 對不要的變數 (y) 積分積掉。同樣要注意積分上限是 1-x，不是 1。得到 f_X(x) 後，再計算 P(X ≤ 0.25)，即對 f_X(x) 從 0 積分到 0.25。

這題要求期望值的線性組合。先利用上一題算出的 f_X(x) 計算出 E(X)，然後再利用 E(aX) = aE(X) 求出 E(3X)。如果你熟悉 Beta 分配，可以看出 X 服從 Beta(2, 3)，從而直接寫出 E(X) = 2/(2+3) = 2/5 進行驗算。

這題考的是聯合期望值的計算及期望值線性性質。先求出 E(XY) = \iint xy f(x,y) dx dy。這裡需要做二重積分，算完 E(XY) 後，再代入 E(5+2XY) = 5 + 2E(XY)。