高考申論題
112年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
設 X1、X2、X3 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 Y1 = (X1 - X2) / √2，Y2 = (X1 + X2 - 2X3) / √6 與 Y3 = (X1 + X2 + X3) / √3。試求： (一) Y1、Y2、Y3 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機率密度函數。(15 分) (二) 求 Y1、Y2 和 Y3 之聯合分配函數。(10 分)
設 X1、X2、X3 為互相獨立的標準常態隨機變數。令 Y1 = (X1 - X2) / √2，Y2 = (X1 + X2 - 2X3) / √6 與 Y3 = (X1 + X2 + X3) / √3。試求： (一) Y1、Y2、Y3 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機率密度函數。(15 分) (二) 求 Y1、Y2 和 Y3 之聯合分配函數。(10 分)
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
Y1、Y2、Y3 是否分別具有相同的機率密度函數，須完整求出各自的機率密度函數。(15 分)
思路引導 VIP
看到獨立常態變數的線性組合，應直覺聯想到「常態變數之線性組合仍為常態分配」的性質。解題時直接運用期望值與變異數算符的線性性質，分別求出 $Y_1, Y_2, Y_3$ 的期望值與變異數，即可確立各自的分配並寫出機率密度函數。
小題 (二)
求 Y1、Y2 和 Y3 之聯合分配函數。(10 分)
思路引導 VIP
面對常態隨機變數的線性組合問題，首要思考利用矩陣形式 $\mathbf{Y} = A\mathbf{X}$ 來處理。透過驗證轉換矩陣 $A$ 是否為正交矩陣（$A A^T=I$），即可快速確認轉換後的變數是否維持獨立且為標準常態分配，進而寫出其聯合分配。