地特三等申論題
108年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
新北市捷運環狀線部分路段預定在2019年年底完工通車,目前已進入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時間是服從具有自由度為2的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系統,得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本,分別以Y₁與Y₂表示。 (每小題10分,共40分)
新北市捷運環狀線部分路段預定在2019年年底完工通車,目前已進入測試階段。已知新北市捷運電聯車的液壓式摩擦煞車系統的失效時間是服從具有自由度為2的卡方分配。今由工程師隨機抽樣測試該系統,得到一組樣本數為二之失效時間的隨機樣本,分別以Y₁與Y₂表示。 (每小題10分,共40分)
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
令變數D=Y₁-Y₂,求出變數D之機率密度函數f(d)。
思路引導 VIP
首先需辨識出「自由度為2的卡方分配」其實等價於「期望值為2的指數分配」。接著利用變數變換法（Jacobian）、摺積法（Convolution）或動差母函數（MGF）等工具，來推導兩個獨立同分配的指數隨機變數之差。運算過程中最關鍵的是積分範圍（Support）的判定，必須依據 D 的正負號做分段討論。
小題 (二)
令變數S = Y₁+Y₂,求出變數S之變異數Var(S)。
思路引導 VIP
考生看到此題應先連結「卡方分配的期望值與變異數性質」以及「獨立隨機變數變異數的可加性」。先寫出單一樣本的變異數，再利用樣本獨立的前提，將和的變異數拆解為變異數的和來求解，亦可使用卡方分配的加法性直接推導。
小題 (三)
令變數R為全距,求出變數R之機率密度函數f(r)。
思路引導 VIP
看到求全距分配的題目，應直覺聯想到「順序統計量」理論。解題步驟為：先將卡方分配轉化為機率密度函數，建立樣本最小值與最大值的聯合分配，接著利用二元變數變換法與雅可比行列式（Jacobian），最終透過積分消去輔助變數，得出全距的邊際機率密度函數。
小題 (四)
令變數U = min{Y₁, Y₂}及V = max{Y₁, Y₂},求出機率P(U < 6, V > 10)。
思路引導 VIP
看到自由度為2的卡方分配，應直覺聯想到其等價於參數為1/2的指數分配，藉此快速寫出累積分配函數(CDF)。接著，將順序統計量 U(最小值) 與 V(最大值) 的聯合機率條件，利用獨立性轉換為原始樣本 Y₁ 與 Y₂ 的組合事件機率來求解。