高考申論題
111年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
一、隨機變數 X 服從指數分配，其機率密度函數為 f(x) = - e^{-x}, if x > 0 - 0, if x <= 0 。（已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693, ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）（每小題 10 分，共 20 分）
一、隨機變數 X 服從指數分配，其機率密度函數為 f(x) = - e^{-x}, if x > 0 - 0, if x <= 0 。（已知自然對數值：ln(0.05)≒-3, ln(0.25)≒-1.386, ln(0.5)≒-0.693, ln(0.75)≒-0.288, ln(0.95)≒-0.051）（每小題 10 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
請計算其「中位數」及「期望值」。
思路引導 VIP
- 辨識分配參數：首先從給定的機率密度函數 (pdf) 辨認出這是一個參數 λ = 1 的指數分配 (Exponential Distribution)。
- 期望值公式：直接應用指數分配的期望值公式 E[X] = 1/λ。
小題 (二)
請計算其四分位距（interquartile range）。
思路引導 VIP
- 定義 IQR：四分位距 IQR = Q3 - Q1，其中 Q1 是第 25 百分位數，Q3 是第 75 百分位數。
- 建立方程：利用 F(Q1) = 0.25 與 F(Q3) = 0.75 分別求出 Q1 與 Q3。
小題 (三)
若將前述侵臺颱風次數表視為隨機的抽樣結果，且 p 代表八月發生侵臺颱風次數在總侵臺颱風次數之比例。在顯著水準為 0.05 下，檢定八月發生侵臺颱風之比例是否超過 1/4。（10 分）
思路引導 VIP
看到這題應先確認為「單一母體比例的大樣本假設檢定」問題。首先加總各月數據求出總樣本數 n 與八月發生次數 x，接著依據題意設立單尾檢定的虛無與對立假設（H1: p > 1/4）。因大樣本滿足常態近似條件，代入大樣本比例的 Z 檢定統計量公式進行計算，並與常態分配的臨界值比較即可得出結論。