高考申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
設隨機變數 X 服從在[θ_1, θ_2]上之均等分配（uniform distribution），其中θ_1, θ_2為未知參數，即隨機變數 X 的機率密度函數為 f(x) = 1 / (θ_2 - θ_1) , ∀ x ∈ [θ_1, θ_2] ； 0 , 其他 又令 X_1, X_2, ..., X_n為抽自 X 之一組大小為 n 之隨機樣本，則：（每小題 8 分，共 24 分）
設隨機變數 X 服從在[θ_1, θ_2]上之均等分配（uniform distribution），其中θ_1, θ_2為未知參數，即隨機變數 X 的機率密度函數為 f(x) = 1 / (θ_2 - θ_1) , ∀ x ∈ [θ_1, θ_2] ； 0 , 其他 又令 X_1, X_2, ..., X_n為抽自 X 之一組大小為 n 之隨機樣本，則：（每小題 8 分，共 24 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
試以最大概似估計法（the method of maximum likelihood estimation）求θ_1, θ_2之點估計量。
思路引導 VIP
最大概似估計(MLE)的核心是「找出使聯合機率(概似函數)最大化的參數」。均勻分配的 MLE 是指標性考題，因為它不能用微分求極值（函數為常數），必須透過「指示函數(Indicator function)」與順序統計量(Order statistics)的概念。要讓 1/(θ_2-θ_1)^n 最大，等同於讓區間 (θ_2-θ_1) 最小，但受限於所有樣本點必須落在區間內。建議作答時間 8 分鐘。
小題 (一)
隨機變數 X 之期望值 E(X)=？變異數 V(X)=？
思路引導 VIP
均勻分配的期望值與變異數是統計學基本知識，考生可直接寫出公式，但若能透過積分簡要推導，更能確保拿滿分。期望值是 (上限+下限)/2，變異數是 (上限-下限)^2/12。建議作答時間 3 分鐘。
小題 (二)
試以動差估計法（the method of moments estimation）求θ_1, θ_2之點估計量。
思路引導 VIP
動差估計法(MOM)的核心概念是「以樣本動差代替母體動差」。此題有兩個未知參數，因此需要用到一階與二階動差。令母體平均數等於樣本平均數 (X̄)，母體變異數等於樣本變異數 (S² 或 M₂)。接著解聯立方程式求出 θ_1 與 θ_2。建議作答時間 8 分鐘。