第 五 題

本題測驗條件機率密度函數的推導與常見分配的辨識。首先需計算出X的邊際機率密度函數，接著代入條件機率密度公式 f(y|x) = f(x,y)/f(x) 進行推導，最後觀察算出的密度函數特徵（如不含變數y而為常數），即可判定其分配名稱與參數。

本題欲檢定「甲購買率是否大於乙」，屬於右尾檢定。使用信賴區間法時，為與顯著水準 α=0.10 的右尾檢定等價，應建構 90% 的「單邊信賴下限 (Lower Confidence Bound)」。計算兩母體比例差後，若區間包含 0（即下限小於或等於 0），則無法拒絕虛無假設。

看到兩組大樣本（n≥30）的比例比較，應立即聯想到「雙母體比例差的 Z 檢定」。題目明確要求使用「P 值法」，因此解題核心在於：設立右尾檢定假設、計算聯合樣本比例（Pooled Proportion）以求出檢定統計量 Z 值，最後查表求出 P 值並與顯著水準 α=0.10 進行比較以做出決策。

本題考查條件機率密度函數的定義與推導。解題首要步驟是利用雙重積分總和為1求出未知常數C，接著對y積分求得X的邊際機率密度函數f_X(x)，最後利用條件機率定義 f_{Y|X}(y|x) = f(x,y) / f_X(x) 即可求得答案，務必標明隨機變數Y的條件範圍。

看到聯合機率分配求條件期望值與變異數，首要步驟是利用雙重積分為1求出常數 C，再求出 X 的邊際機率密度函數 f_X(x)，藉此推導出條件機率密度函數 f(y|x)。若觀察到條件分配為均勻分配，可直接利用其特性驗算，並以嚴謹的積分步驟展現計算過程以確保拿滿分。