第 一 題

考查機率密度函數的基本性質：全域空間內的總機率必須等於 1。解題步驟是對 f(x, y) 在給定的 x, y 範圍（0 到 1）進行二重積分，並將結果等於 1，藉此解出常數 c。

利用已知的 f(x,y) (代入 c=2/5) 求解特定範圍的機率。將積分範圍改變為題目給定的 0 到 0.5，重新執行一次二重積分即可。

求單一變數的邊際分配，就是把聯合機率中「另一個變數」在它的整個定義域上積分「積掉」。所以要求 f_X(x)，需將 f(x,y) 對 y 從 0 到 1 進行積分。

利用上一小題求出的邊際分配 f_X(x) 來計算一維隨機變數的期望值 E(X) 與變異數 V(X)。依照定義 E(X) = ∫ x * f_X(x) dx。而 V(X) 則可利用公式 E(X²) - [E(X)]² 求得，因此需要多計算一個 E(X²) = ∫ x² * f_X(x) dx。