地特四等申論題
108年
[統計] 統計學概要
第 一 題
📖 題組：
假設隨機變數 X1與 X2的聯合機率質量函數（joint probability mass function）為 f(x1, x2) = { k(x1 + 2x2) , x1 = 1,2,3, x2 = 2,3 { 0 , 其他
假設隨機變數 X1與 X2的聯合機率質量函數（joint probability mass function）為 f(x1, x2) = { k(x1 + 2x2) , x1 = 1,2,3, x2 = 2,3 { 0 , 其他
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試求 k 值。（5 分）
思路引導 VIP
看到離散型聯合機率質量函數求未知常數，首要想到的就是機率基本公理：「所有可能發生的聯合機率總和必定等於 1」。將給定範圍內的所有 (x1, x2) 組合代入函數並加總，令方程式等於 1 即可解出 k 值。建議優先繪製「聯合機率分配表」輔助計算，不僅可確保不漏項，亦能為後續題組計算邊際機率或期望值打下穩固基礎。
小題 (二)
試求機率 P(X1 ≥ X2 )。（5 分）
思路引導 VIP
面對含有未知數的聯合機率質量函數題型，第一步必定是利用「所有可能發生的聯合機率總和為1」的公理先解出未知常數 k。第二步強烈建議繪製出完整的聯合機率分配表，接著只要圈選出符合題目條件（X1 ≥ X2）的樣本點並將機率加總，即可避免遺漏且確保計算精確。
小題 (三)
試求 X1與 X2的共變異數（covariance） Cov(X1 , X2 )。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗聯合機率分配的基本性質與共變異數的計算。解題時應先利用「機率總和為 1」求出常數 k，接著建立完整的聯合機率與邊際機率分配表，最後代入共變異數公式 Cov(X1,X2) = E(X1X2) - E(X1)E(X2) 穩紮穩打求出最終數值。