高考申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為 σ_1^2 和 σ_2^2。令 (S_1^2, n_1) 和 (S_2^2, n_2) 分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size）。
假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為 σ_1^2 和 σ_2^2。令 (S_1^2, n_1) 和 (S_2^2, n_2) 分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請分別推導求得兩母體變異數比（σ_1^2 / σ_2^2）與兩母體標準差比（σ_1 / σ_2）之 100(1-α)% 信賴區間（confidence interval）估計式。α 為顯著水準（the level of significance）。（14 分）
思路引導 VIP
看到常態母體、獨立樣本與變異數比的區間估計，應直覺聯想「F 分配」與「樞紐量法（Pivotal Quantity Method）」。利用兩獨立樣本樣本變異數（經常態化後的卡方分配）的比值建構 F 統計量作為樞紐量，再透過機率不等式反解出變異數比的範圍，最後利用不等式恆正可開平方根的性質得到標準差比的區間。
小題 (二)
分別自兩個不同廠牌的汽水罐裝填機器隨機抽取樣本並測量其汽水罐容量（單位：ml）。樣本大小分別為（n_1 = 15, n_2 = 17），計算得樣本容量變異數分別為（S_1^2 = 2, S_2^2 = 4）。請分別計算 σ_1^2 / σ_2^2 與 σ_1 / σ_2 之 90% 信賴區間估計值。假設汽水容量呈常態分配。（6 分）
思路引導 VIP
本題核心在於常態母體下兩獨立樣本變異數比的區間估計。考生應首先想到利用兩樣本變異數建構服從 F 分配的樞紐量 (Pivotal quantity)，再透過機率不等式嚴謹推導出 $\sigma_1^2 / \sigma_2^2$的上下界，最後利用變異數恆正的性質開平方根，即得標準差比的信賴區間。
📜 參考法條
附表：F分配表 (Critical Values of the F-Distribution: α=.05)
附表：χ^2分配右尾百分點 χ^2_α(df)