高考申論題
106年
[統計] 統計學
第 一 題
📖 題組：
假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為 σ_1^2 和 σ_2^2。令 (S_1^2, n_1) 和 (S_2^2, n_2) 分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size）。
假設兩獨立樣本分別取自兩個常態母體，其母體變異數分別為 σ_1^2 和 σ_2^2。令 (S_1^2, n_1) 和 (S_2^2, n_2) 分別為兩組樣本的樣本變異數和樣本大小（sample size）。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
請分別推導求得兩母體變異數比（σ_1^2 / σ_2^2）與兩母體標準差比（σ_1 / σ_2）之 100(1-α)% 信賴區間（confidence interval）估計式。α 為顯著水準（the level of significance）。（14 分）
思路引導 VIP
看到常態母體、獨立樣本與變異數比的區間估計，應直覺聯想「F 分配」與「樞紐量法（Pivotal Quantity Method）」。利用兩獨立樣本樣本變異數（經常態化後的卡方分配）的比值建構 F 統計量作為樞紐量，再透過機率不等式反解出變異數比的範圍，最後利用不等式恆正可開平方根的性質得到標準差比的區間。
小題 (二)
分別自兩個不同廠牌的汽水罐裝填機器隨機抽取樣本並測量其汽水罐容量（單位：ml）。樣本大小分別為（n_1 = 15, n_2 = 17），計算得樣本容量變異數分別為（S_1^2 = 2, S_2^2 = 4）。請分別計算 σ_1^2 / σ_2^2 與 σ_1 / σ_2 之 90% 信賴區間估計值。假設汽水容量呈常態分配。（6 分）
思路引導 VIP
本題核心在於常態母體下兩獨立樣本變異數比的區間估計。考生應首先想到利用兩樣本變異數建構服從 F 分配的樞紐量 (Pivotal quantity)，再透過機率不等式嚴謹推導出 $\sigma_1^2 / \sigma_2^2$的上下界，最後利用變異數恆正的性質開平方根，即得標準差比的信賴區間。
小題 (三)
求出消費支出為1之下,所得大於2之條件機率P(X > 2| Y = 1)。
思路引導 VIP
看到聯合動差母函數（MGF）呈現指數與二次式的型態，首先應比對二元常態分配的標準 MGF 形式，萃取出各變數的期望值、變異數與共變異數。接著利用二元常態分配的特性，推導出給定 Y 之下 X 的條件常態分配，最後將數值標準化即可求出機率。
小題 (四)
令隨機變數Z= (Y −1)²,求出 Z之機率密度函數。
思路引導 VIP
首先，觀察給定的聯合動差母函數(MGF)形式，藉由對照二元常態分配的MGF公式，可利用唯一性定理直接萃取出邊際變數Y的期望值與變異數。確認Y為常態分配後，接著利用機率分配變數變換技巧（建議使用最嚴謹的CDF法），將Y的機率密度函數代入，即可逐步推導出Z的機率密度函數。
📜 參考法條
附表：F分配表 (Critical Values of the F-Distribution: α=.05)
附表：χ^2分配右尾百分點 χ^2_α(df)