高考申論題
107年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
設由兩個常態母體 N(μ_1, σ_1^2 = 1) 及 N(μ_2, σ_2^2 = 2) 中分別抽出大小為 n_1 及 n_2 的兩組獨立隨機樣本，且令 X_1 及 X_2 分別為此兩組隨機樣本的樣本平均數，則：（每小題 8 分，共 16 分）
設由兩個常態母體 N(μ_1, σ_1^2 = 1) 及 N(μ_2, σ_2^2 = 2) 中分別抽出大小為 n_1 及 n_2 的兩組獨立隨機樣本，且令 X_1 及 X_2 分別為此兩組隨機樣本的樣本平均數，則：（每小題 8 分，共 16 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
試以 X_1， X_2 估計 μ_1 - μ_2 的 95%的信賴區間。
思路引導 VIP
本題為標準的「雙母體平均數差」的區間估計。看到「常態母體」且「母體變異數已知」，應立刻想到使用 Z 分配。寫出估計式結構：(點估計量) ± (Z臨界值) × (標準誤)，把對應的參數帶入即可。建議作答時間 5 分鐘。
小題 (二)
若為使(一)中所求的 95%信賴區間長度為最短，且 n_1 + n_2 = 100 時，試問 n_1 與 n_2 應為多少？
思路引導 VIP
這是一道結合微積分/代數極值的經典統計題。區間長度 L 受到標準誤影響，因此要使長度最短，等於是要極小化根號內的變異數組合 1/n1 + 2/n2。在已知 n1+n2=100 的限制條件下，可運用「柯西不等式 (Cauchy-Schwarz)」或「拉格朗日乘數法 (Lagrange Multipliers)」來求解最佳樣本配置。建議作答時間 10 分鐘。
小題 (三)
在型一誤差 α=0.05 之下，試問該作物在三個不同地區的平均產量是否有顯著差異？（9 分）
思路引導 VIP
考生應首先確立本題為隨機完全區集設計（RCBD）或雙因子變異數分析中針對「區集（地區）效應」的假設檢定。解題關鍵在於利用 ANOVA 表中推導出的地區均方（MS）與殘差均方（MSE）算出 F 檢定統計量，並與自由度為 (2, 6) 的 F 分配臨界值比較，以標準的統計推論四步驟（假設、統計量、拒絕域、結論）嚴謹作答。