高考申論題
106年
[衛生行政] 生物統計學(含流行病學)
第 二 題
📖 題組：
某研究者擬探討婦女罹患乳癌經治療半年後的生活滿意度影響因子，取樣 100 位乳癌患者在治療半年後進行調查，並作簡單線性迴歸分析，其中依變項（Y）為生活滿意度分數（分數愈高表示滿意度愈高），而自變項 X1 為家庭支持（分數愈高表示家庭支持愈佳），已知∑(yi − ȳ)² = 39828，∑(yi − ŷi)² = 28595，試問： (一)在此簡單線性迴歸分析（simple linear regression）中，決定係數為何？解釋其意義。（5 分） (二)已知此簡單線性迴歸方程式為：Y = 40.5 + 0.62X1，若王小姐（符合研究對象條件）的家庭支持分數為 12，請預測王小姐的生活滿意度分數為何？（5 分） (三)如果研究者增加日常功能障礙分數（分數愈高表示日常功能障礙愈大）之自變項（X2），發現在觀察到 Y 的總變異中，能被迴歸直線所解釋的比例增加 12%，請問此時複迴歸模型之決定係數為何？又此時∑(yi − ŷi)² 值為何？（5 分） (四)承(三)，請檢定 H0： β1= β2=0 並清楚說明結論。（設顯著水準α = 0.05，已知 F0.95(1,98)=3.94，F0.95(2,97)=3.09，F0.975(1,98)=5.18，F0.975(2,97)=3.83）（5 分）
某研究者擬探討婦女罹患乳癌經治療半年後的生活滿意度影響因子，取樣 100 位乳癌患者在治療半年後進行調查，並作簡單線性迴歸分析，其中依變項（Y）為生活滿意度分數（分數愈高表示滿意度愈高），而自變項 X1 為家庭支持（分數愈高表示家庭支持愈佳），已知∑(yi − ȳ)² = 39828，∑(yi − ŷi)² = 28595，試問： (一)在此簡單線性迴歸分析（simple linear regression）中，決定係數為何？解釋其意義。（5 分） (二)已知此簡單線性迴歸方程式為：Y = 40.5 + 0.62X1，若王小姐（符合研究對象條件）的家庭支持分數為 12，請預測王小姐的生活滿意度分數為何？（5 分） (三)如果研究者增加日常功能障礙分數（分數愈高表示日常功能障礙愈大）之自變項（X2），發現在觀察到 Y 的總變異中，能被迴歸直線所解釋的比例增加 12%，請問此時複迴歸模型之決定係數為何？又此時∑(yi − ŷi)² 值為何？（5 分） (四)承(三)，請檢定 H0： β1= β2=0 並清楚說明結論。（設顯著水準α = 0.05，已知 F0.95(1,98)=3.94，F0.95(2,97)=3.09，F0.975(1,98)=5.18，F0.975(2,97)=3.83）（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (二)
已知此簡單線性迴歸方程式為：Y = 40.5 + 0.62X1，若王小姐（符合研究對象條件）的家庭支持分數為 12，請預測王小姐的生活滿意度分數為何？（5 分）
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本題測驗迴歸預測的基本概念。只需將給定的自變項數值（家庭支持分數）代入已建立的簡單線性迴歸方程式中，進行基本的四則運算，即可求得依變項（生活滿意度分數）的預測值。
小題 (一)
在此簡單線性迴歸分析（simple linear regression）中，決定係數為何？解釋其意義。（5 分）
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看到「決定係數（R²）」，應立即聯想到公式 R² = 1 - (SSE / SST) 或 R² = SSR / SST。由題目給定的總平方和(SST)與殘差平方和(SSE)代入計算後，將數值轉化為「依變項變異能被自變項解釋的百分比」來論述其統計意義。
小題 (三)
如果研究者增加日常功能障礙分數（分數愈高表示日常功能障礙愈大）之自變項（X2），發現在觀察到 Y 的總變異中，能被迴歸直線所解釋的比例增加 12%，請問此時複迴歸模型之決定係數為何？又此時∑(yi − ŷi)² 值為何？（5 分）
思路引導 VIP
考生看到此題需先利用簡單線性迴歸的總平方和 (SST) 與殘差平方和 (SSE) 算出原始的決定係數 (R²)。接著，將新增變數帶來的解釋力提升幅度 (12%) 加上原 R²，即可得到新模型的決定係數，最後再利用代數推導，由新 R² 與不變的 SST 反推出新的殘差平方和 (SSE)。
小題 (四)
承(三)，請檢定 H0： β1= β2=0 並清楚說明結論。（設顯著水準α = 0.05，已知 F0.95(1,98)=3.94，F0.95(2,97)=3.09，F0.975(1,98)=5.18，F0.975(2,97)=3.83）（5 分）
思路引導 VIP
此題核心在於「複迴歸模型的整體顯著性檢定（ANOVA）」。考生需先利用第(三)題的結果求出新的迴歸平方和（SSR）與殘差平方和（SSE），接著計算均方（MSR、MSE）與 F 統計量。最後將算出的 F 值與題目給定的 F 臨界值比較，從而判定模型是否具有整體的統計顯著性。
📜 參考法條
附表三：卡方分配臨界值表