高考申論題
106年
[電信工程] 通信與系統
第 二 題
二、考慮一個數位通訊系統從 M 個在訊號空間中的訊號向量 s_i ∈ R^N，i = 1, 2, ..., M 中擇一傳送。已知 s_i 會被傳送的機率為 q_i，i = 1, 2, ..., M。在接收端收到的訊號向量為 r = s_i + n，其中 n ∈ R^N 為加成性雜訊向量，並且統計獨立於傳送向量 s_i。接收端將依據 r 來判別到底是那一個訊號向量被傳送出來。請說明最佳決定法則（optimal decision rule）以達到最小判別錯誤率。請問如何以 s_i 的傳送機率 q_i 以及雜訊 n 的機率密度函數來表達此最佳決定法則。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「最小判別錯誤率」，直覺應聯想到「最大後驗機率（MAP）決定法則」。解題時，請先利用貝氏定理將後驗機率展開為先驗機率與條件機率密度的乘積，再根據 r = s_i + n 的加成性模型，將條件機率密度替換為雜訊的機率密度函數 f_N(r-s_i) 即可得出最終判斷式。
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【解題思路】採用最大後驗機率（Maximum A Posteriori, MAP）決定法則以達到最小判別錯誤率，並透過貝氏定理與雜訊機率密度函數進行推導。 【詳解】 已知：
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MAP 最佳決定法則
💡 透過最大化後驗機率 (MAP) 達成數位通訊系統之最小判別錯誤率。
🔗 MAP 法則推導四步驟
- 1 準則設定 — 設定最大化後驗機率 P(si|r) 以達最小錯誤率
- 2 貝氏轉換 — 將後驗機率正比於「概似函數 × 先驗機率」
- 3 雜訊平移 — 將概似函數表示為雜訊密度函數 fN(r-si)
- 4 最終判定 — 選取使 fN(r-si) * qi 最大之 i 為結果
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🔄 延伸學習：延伸學習：當雜訊為高斯分佈時，此法則可進一步轉換為歐幾里得距離之計算。
