高考申論題
110年
[電信工程] 通信與系統
第 三 題
考慮一個通訊系統，使用 M = 2^N 個訊號點之星雲圖 S 進行傳輸，且每個訊號點發生機率皆為 1/M。其中集合 S 表示為：
S = {(s1, s2, ..., sN) : si ∈ {+1, -1} for i = 1, ..., N}
若傳輸訊號向量為 s ∈ S，接收向量表示為 r = √(Es/N) s + n，其中 n = [n1, n2, ..., nN] 為零平均的高斯向量符合：
E[ni nj] = { N0/2 (i=j), 0 (otherwise) }
求此通訊系統在接收端使用最相似檢測器（maximum likelihood detector）下之錯誤率。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題為標準的多維度訊號空間分析。看到星雲圖分佈在 N 維度空間的頂點上（類似 N 維度 QPSK），且雜訊在各維度獨立不相關，應立即聯想到「維度解耦（Decoupling）」。解題關鍵是將 N 維度的 ML 決策拆解為 N 個獨立的一維度 BPSK 決策，計算出單一維度的錯誤率後，利用獨立事件的機率乘法求出整體符號錯誤率（Symbol Error Rate）。
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【解題思路】利用各維度訊號與雜訊彼此獨立的特性，將 $N$ 維向量的最高概似檢測（ML Detection）拆解成 $N$ 個獨立的一維度 BPSK 檢測，先求出單一維度的位元錯誤率，再推導整體的符號錯誤率。 【詳解】 已知：
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