高考申論題
112年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
考慮下列兩個信號星座圖（Signal Constellations），並假設圖中每個星座訊息點（Signal Points）傳送機率相等。（每小題10分，共20分） [圖(a)為正方形星座圖，頂點位於(a, a), (-a, a), (-a, -a), (a, -a)] [圖(b)為菱形星座圖，頂點位於(\sqrt{2}a, 0), (0, \sqrt{2}a), (-\sqrt{2}a, 0), (0, -\sqrt{2}a)]
考慮下列兩個信號星座圖（Signal Constellations），並假設圖中每個星座訊息點（Signal Points）傳送機率相等。（每小題10分，共20分） [圖(a)為正方形星座圖，頂點位於(a, a), (-a, a), (-a, -a), (a, -a)] [圖(b)為菱形星座圖，頂點位於(\sqrt{2}a, 0), (0, \sqrt{2}a), (-\sqrt{2}a, 0), (0, -\sqrt{2}a)]
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請證明上圖所示的兩個信號星座圖具有相同的平均符號錯誤率（Average Probability of Symbol Error）。
思路引導 VIP
本題重點在於分析信號空間中星座點的歐氏距離特徵。觀察可發現圖(b)是由圖(a)經剛體變換（旋轉與平移）所產生。利用AWGN具有圓對稱性及歐氏距離在此類變換下的不變性，即可嚴謹證明兩者具有相同的平均符號錯誤率。
小題 (二)
請問這兩個星座圖中那一個具有最低的平均能量？並請證明您的答案。
思路引導 VIP
本題重點在於計算並比較兩種星座圖的平均能量。可直接代入平均能量期望值公式 $E_{avg} = \frac{1}{M} \sum ||s_i||^2$。此外，仔細觀察圖(b)的座標軸標示可發現其質心偏離原點，根據通訊理論，質心位於原點（Zero-mean）的星座圖具有最小平均能量。