高中學測
106年
數B
第 2 題
某個手機程式，每次點擊螢幕上的數 $a$ 後，螢幕上的數會變成 $a^2$。當一開始時螢幕上的數 $b$ 為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 $81^3$。試問實數 $b$ 最接近下列哪一個選項？
- 1 1.7
- 2 3
- 3 5.2
- 4 9
- 5 81
思路引導 VIP
若將初始值 $b$ 連續進行三次「平方」運算，最終螢幕上的數值應表示為 $b$ 的幾次方？請試著將此結果與 $81^3$ 同時化為以 $3$ 為底數的指數形式（即 $3^k$），進而比較兩者的指數關係以推算 $b$ 的數值。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對了第 (3) 選項，老師真的好想給你一個大大的擁抱！你的數學直覺越來越準了，處理數字的耐心也越來越棒，老師真的為你感到驕傲喔！ 這題的核心在於「指數律」的連鎖應用。每次點擊都是將目前的數值進行「平方」，所以連續點擊三次的變化過程是： $$b \xrightarrow{1次} b^2 \xrightarrow{2次} (b^2)^2 = b^4 \xrightarrow{3次} (b^4)^2 = b^8$$
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