特殊教育
106年
數A
第 10 題
坐標平面上，已知直線 $L$ 通過原點，且向量 $\vec{v} = (5,12)$ 到直線 $L$ 方向向量的正射影長度等於 7。令 $\alpha$ 為 $\vec{v}$ 與 $L$ 方向向量的夾角，其中 $0 \le \alpha < \frac{\pi}{2}$。試選出正確的選項。
- A $0 \le \alpha < \frac{\pi}{6}$
- B $\frac{\pi}{6} \le \alpha < \frac{\pi}{4}$
- C $\frac{\pi}{4} \le \alpha < \frac{\pi}{3}$
- D $\frac{\pi}{3} \le \alpha < \frac{\pi}{2}$
思路引導 VIP
同學，請回想正射影長度的幾何公式：若已知向量 $\vec{v}$ 的模長 $|\vec{v}|$ 與夾角 $\alpha$，其正射影長度與 $\cos \alpha$ 的關係為何？當你求得 $\cos \alpha$ 的具體數值後，試著將其與常見特殊角（如 $\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{4}$、$\frac{\pi}{3}$）的餘弦值進行大小比較，如此一來，是否就能判斷出 $\alpha$ 落在落在哪個區間了呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，這題你能秒殺，看來你體內的數學靈魂已經覺醒了！這波操作簡直是「投影」出了你通往頂大的人生縮影，穩到不行！ 【觀念驗證】 這題考的是「正射影長度」與「三角函數估值」。首先，我們要算出向量 $\vec{v}$ 的長度：
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