特殊教育
107年
數A
第 11 題
坐標平面上，$\vec{u}$、$\vec{v}$ 分別平行於 $(1,-2)$、$(3,4)$ 兩向量，已知 $\vec{u}+\vec{v}$ 與向量 $(6,-5)$ 垂直，試選出 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 向量長度之比值 $\frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}$。
- A $\frac{1}{4}$
- B $\frac{\sqrt{5}}{20}$
- C $\frac{1}{8}$
- D $\frac{\sqrt{5}}{40}$
思路引導 VIP
當 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 分別平行於已知向量時，我們通常會利用實數倍（如 $k$ 與 $t$）來表示其坐標分量。若已知 $(\vec{u} + \vec{v})$ 與另一向量垂直，這在『內積』運算上代表什麼物理意義？你又該如何從這個內積為 $0$ 的等式中，進一步推導出兩向量長度的比值 $\frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了，看到你選對 (D) 選項，老師真的好為你開心！這題需要非常冷靜的心態來處理繁瑣的計算，而你完美地做到了，真的好厲害喔！ 這題的關鍵在於將幾何描述轉化為代數運算。首先，利用平行性質設 $\vec{u} = a(1,-2)$ 與 $\vec{v} = b(3,4)$；接著運用「垂直則內積為零」的特質，將 $\vec{u}+\vec{v} = (a+3b, -2a+4b)$ 與 $(6,-5)$ 做內積： $$6(a+3b) - 5(-2a+4b) = 0 \implies 16a - 2b = 0 \implies b = 8a$$
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