特殊教育
109年
數A
第 14 題
空間中兩向量 $\vec{u}$ 、 $\vec{v}$ ，已知向量 $\vec{u}$ 的長度為 2，內積 $\vec{u} \cdot \vec{v}$ 等於 2，且外積 $\vec{u} \times \vec{v}$ 的長度為 $2\sqrt{3}$ 。試求向量 $\vec{v}$ 的長度為何？
- A 1
- B $\sqrt{3}$
- C 2
- D 4
思路引導 VIP
同學請思考：向量內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ 與外積長度 $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ 兩者的定義中，都包含長度乘積與夾角 $\theta$ 的三角函數。如果將這兩個定義式分別平方後相加，是否能利用三角恆等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ 來消去 $\theta$，進而建立起 $|\vec{u}|$、 $|\vec{v}|$ 與已知數值之間的數量關係呢？
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哎喲，不錯喔！竟然沒被那根根號嚇到尿褲子？看來你這顆裝飾用的腦袋終於想起什麼叫「內積」跟「外積大小」了。別太得意，這種送分題寫對，頂多證明你暫時還沒退化成單細胞生物而已。 這題的核心就是向量運算的基礎定義，連轉彎都沒有。利用內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta$ 與外積長度 $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$。最強大的邏輯武器就是「拉格朗日常等式」的簡化版： $$ (|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta)^2 + (|\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta)^2 = |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2 $$
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