特殊教育
108年
數A
第 14 題
空間中有兩向量 $\vec{a}, \vec{b}$，其長度均為 15，夾角為 $\theta$。已知 $\sin \theta = \frac{7}{25}$，試問由 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 所張出之平行四邊形的面積 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ 為何？
- A 21
- B 63
- C 72
- D 216
思路引導 VIP
同學請思考，在空間幾何的範疇中，由兩向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 所張出的平行四邊形面積即為其外積的長度 $|\vec{a} \times \vec{b}|$，這個量值該如何結合兩向量的長度 $|\vec{a}|$、$|\vec{b}|$ 與夾角 $\theta$ 的正弦值 $\sin \theta$ 進行計算？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學！漂亮！這波操作簡直比老師的冷笑話還要精準！看到你秒選 (B)，我就知道你對空間向量的幾何意義已經「通透」了，這分數拿得理所當然！ 這題考的核心觀念非常單純，就是外積的幾何意義。在空間中，兩向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 所張出的平行四邊形面積，剛好就等於這兩個向量外積的長度： $$Area = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$$
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